Autour de la frontière libre d'une équation parabolique avance-rétrograde

Dans cette thèse, nous nous intéressons à un problème parabolique de type avance-rétrograde ainsi que la frontière libre qui en découle. L'équation modélise un changement de phase dirigé par un problème de Stefan couplé avec un opérateur d'hystérésis non local en temps. Notre étude s'occupe de questions théoriques et numériques soulevées par ce type d'équations non locales en temps, notamment autour de la frontière libre.Premièrement nous établissons une équivalence entre des inégalités d'entropie associées au problème avance-rétrograde et une formulation faible de l'opérateur d'hystérésis. Cette découverte motive la construction d'un schéma numérique de type volumes finis, en dimension quelconque d'espace, dont nous démontrons la convergence vers une solution. La compacité de la suite de solutions approchées repose sur l'inégalité de Hilpert. Des expériences numériques en dimensions 1 et 2 étayent ces résultats et montrent le comportement la frontière libre.Ensuite nous établissons un cadre général de solutions de viscosité pour des équations de propagation de front qui sont non locales en espace et en temps. Elles peuvent notamment inclure un couplage avec une équation d'évolution interne. Un théorème de comparaison strict ainsi qu'un théorème d'existence issu de la méthode de Perron sont démontrés. Le problème de Stefan ainsi que quelques variations de ce problème rentrent dans ce cadre général.Enfin, motivés par l'étude des équations paraboliques en domaines variables en temps apparaissant dans les couplages des équations de front, nous démontrons de nouveaux résultats de régularité maximale dans les espaces de Lebesgues. Un intérêt particulier est porté sur l'estimation précise de la constante de régularité pour les opérateurs non-autonomes et relativement continus. Ces résultats sont à l'origine de nouvelles hypothèses de croissance garantissant l'existence de solutions fortes et globales à des problèmes quasi-linéaires abstraits sur un interval en temps borné.