Stabilité de Lipschitz pour le problème inverse de conductivité pour certaines classes de conductivités

Cette thèse se concentre sur le problème inverse de conductivité, en particulier sur la détermination stable d'une certaine classe de conductivités à partir de mesures électriques statiques, connues sous le nom de transformation de Dirichlet à Neumann (carte DtoN). Il est bien connu que l'imposition d'hypothèses a priori de régularité sur la classe des conductivités admissibles conduit à des estimations de stabilité de type logarithmique. De telles estimations impliquent que même un bruit minimal dans les données peut entraîner des erreurs significatives dans la reconstruction, mettant en évidence la nature mal posée du problème. Pour résoudre ce problème, nous proposons de considérer différentes hypothèses a priori qui sont physiquement pertinentes dans de nombreuses applications et qui conduisent à des estimations de stabilité optimales. Plus précisément, nous examinons le cas où la conductivité est constante par morceaux avec des discontinuités le long des frontières d'inclusions polygonales (en deux dimensions) ou polyédriques (en trois dimensions) qui sont strictement intégrées dans un milieu de référence homogène borné. Notre résultat principal est la preuve que, dans ces conditions, des estimations de stabilité Lipschitzienne tiennent pour la détermination de l'inclusion à partir de la carte DtoN. Ces estimations sont significatives car elles fournissent une proportionnalité directe entre les changements dans les mesures et les changements dans la conductivité, garantissant que la reconstruction est stable même en présence de bruit. La dérivation de ces estimations est réalisée en appliquant une version quantitative du théorème de l'application inverse à la fonction non linéaire directe F qui associe la sous-variété de dimension finie des inclusions de conductivité polygonales (polyédriques) aux mesures (carte DtoN). La stabilité Lipschitzienne dans les problèmes inverses est cruciale pour prouver la convergence locale des méthodes de reconstruction non linéaires. En fait, nos résultats nous permettent de mettre en œuvre un algorithme d'optimisation de forme itératif robuste et convergent pour déterminer la géométrie des inclusions. Les résultats de cette thèse ont des implications significatives pour les applications en imagerie médicale. Des techniques telles que la Tomographie par Impédance Électrique (TIE), qui implique l'application de petits courants électriques à la surface du corps et la mesure de la réponse en tension, pourraient grandement bénéficier de ces résultats. En effet, nous nous attendons à ce qu'en tirant parti de la connaissance de la stabilité Lipschitzienne dans la classe des conductivités constantes par morceaux, un algorithme de reconstruction basé sur les réseaux de neurones puisse être significativement amélioré en termes de précision, de robustesse et d'efficacité. Cette intégration peut avoir un impact profond sur l'imagerie TIE, conduisant à des avancées qui relèvent certains des défis de longue date dans le domaine et sera un sujet de recherches futures.