Estimations de convergence en géométrie tropicale et application en optimisation

Nous établissons des estimations de convergence de familles paramétriques d'ensembles semi-algébriques vers leur limite logarithmique, ou tropicalisation. Nous appliquons ces méthodes de géométrie tropicale pour obtenir des résultats de complexité en optimisation.Tout d'abord, nous établissons un résultat d'universalité montrant qu'aucune méthode de points intérieurs à barrière auto-concordante n'est fortement polynomiale. Pour cela, nous établissons des bornes inférieures sur la complexité de ces méthodes faisant intervenir la géométrie d'une courbe tropicale associée: le chemin central tropical. Nous donnons un contre-exemple explicite dans l'esprit de Klee et Minty, en construisant un hypercube combinatoire de dimension n pour lequel le nombre d'itérations est borné inférieurement par Ω(2^n).Nous considérons ensuite des familles paramétriques de matrices dont la tropicalisation est nonsingulière. Nous définissons des notions de conditionnement de matrices tropicales permettant d'estimer les paramètres pour lesquels le type combinatoire d'un polyèdre coïncide avec celui de sa tropicalisation. Nous identifions une classe particulière de programmes linéaires, les problèmes de faisabilité échelonnés (dont les coefficients sont suffisamment séparés), résolubles en temps fortement quasi-polynomial.Dans les derniers chapitres, nous étudions la log-convergence de familles paramétriques d'ensembles semialgébriques vers leur valuation. Nous obtenons des bornes explicites pour des semialgébriques basiques vérifiant une hypothèse de généricité. Dans le cas général, nous donnons une généralisation multivariée de la décomposition cellulaire de Denef--Pas. En employant l'α-theorie de Smale, nous établissons une version quantitative de cette décomposition, permettant de démontrer un théorème de relèvement métrique pour les ensembles semialgébriques. Cela fournit une borne constructive du taux de convergence pour la distance de Hausdorff unilatérale de la famille paramétrique vers sa valuation.