modélisation mécanique et numérique de l'élastographie par ondes de cisaillement transitoires appliquée à la cornée

Les progrès récents de l'élastographie dynamique ont permis une acquisition rapide, localisée et non invasive des données mécaniques de la cornée, ce qui rend ces techniques prometteuses pour les applications in vivo. L'objectif principal de cette thèse est le développement d'un modèle computationnel qui pourrait reproduire les mesures élastographiques transitoires et donner accès aux propriétés mécaniques de la cornée en tant qu'outil de diagnostic. Dans un premier temps, nous dérivons une formulation variationnelle pour la propagation d'ondes linéaires dans des solides hyperélastiques, presque incompressibles et préchargés. L'approximation numérique des problèmes de propagation d'ondes dans des solides presque ou purement incompressibles est confrontée à plusieurs défis comme le verrouillage et les contraintes de stabilité. Dans ce travail, nous proposons un schéma de Leapfrog stabilisé, basé sur l'utilisation de polynômes de Chebyshev pour relaxer la condition de stabilité. Un modèle statique non linéaire 3D de la cornée est développé pour simuler l'état de précharge du tissu sous pression intraoculaire. Le comportement anisotrope, dû à la présence d'un réseau complexe de collagène dans la cornée, est décrit par un modèle microsphere. Par linéarisation, le comportement constitutif du tissu est dérivé pour le problème de propagation des ondes, qui est ensuite résolu à l'aide de la méthode numérique décrite précédemment. En outre, nous abordons le cas où l'hypothèse de la propagation linéaire des ondes peut ne pas être suffisante. Nous proposons l'application d'une nouvelle méthode numérique pour résoudre les problèmes élastodynamiques non linéaires. Cette méthode entièrement explicite, en trois pas de temps, garantit la stabilité grâce à un critère d'énergie a posteriori. Le modèle statique non linéaire de la cornée est ensuite couplé au modèle non linéaire de propagation des ondes. Enfin, l'impact de l'interaction des fluides sur les ondes élastiques est étudié à l'aide de la théorie des ondes guidées, en modélisant la cornée comme un guide d'ondes incompressible et en résolvant le problème comme un problème de valeurs propres avec des conditions aux limites pour l'interaction des fluides.