Comportements en temps long des dynamiques avec des interactions de champ moyen

Cette thèse est consacrée à l'étude des comportements en temps long des dynamiques avec des interactions de champ moyen et des systèmes de particules associés. Pour la plupart des cas traités dans la thèse, la condition structurelle pour les comportements en temps long est la convexité plate de la fonctionnelle d'énergie de champ moyen, qui est différente de la convexité de déplacement étudiée dans les travaux classiques de transport optimal et de flot de gradient. La thèse est composée de trois parties. Dans la première partie, nous étudions les dynamiques de Langevin de champ moyen suramortie et sousamortie, qui sont des dynamiques de gradient associées à une fonctionnelle d'énergie libre de champ moyen, et nous montrons qu'elles présentent des propriétés de propagation du chaos uniforme en temps en exploitant leurs structures de gradient et une inégalité de Sobolev logarithmique uniforme. Dans la deuxième partie, nous développons d'abord quelques résultats techniques sur les inégalités de Sobolev logarithmiques et nous les appliquons pour obtenir la propagation du chaos uniforme en temps pour de diverses diffusions de McKean-Vlasov. En particulier, pour le modèle de vortex visqueux en 2D, nous développons des bornes de régularité fortes sur sa limite de champ moyen sur l'espace entier et nous montrons sa propagation du chaos par la méthode de Jabin-Wang ; nous étudions également son problème de taille du chaos en utilisant l'approche entropique de Lacker et nous obtenons des bornes optimales et uniformes en temps dans le régime de haute viscosité. Dans la dernière partie de la thèse, nous explorons d'autres dynamiques de champ moyen qui proviennent de problèmes d'optimisation convexes. Pour l'optimisation régularisée par l'entropie, nous étudions une dynamique d'auto-jeu fictif et une diffusion auto-interagissante et nous montrons leurs convergences en temps long vers la solution du problème d'optimisation. Nous considérons également un semigroupe de Schrödinger non linéaire, qui est un flot de gradient pour le problème d'optimisation régularisé par l'information de Fisher, et nous montrons sa convergence exponentielle sous une condition de trou spectral uniforme.