Modélisation mathématique, observation et identification des modèles épidémiologiques avec réinfection

Le sujet de ce travail est la modélisation mathématique des maladies infectieuses avec réinfections et l'analyse des modèles correspondants. Nous introduisons d'abord une classe générale de modèles compartimentaux comptant les réinfections, constitués d'un nombre infini d'équations différentielles ordinaires, et nous étudions leur caractère bien posé. La classe proposée permet également de modéliser une transmission hétérogène, dont les caractéristiques dépendent du nombre de réinfections antérieures. Dans le cas homogène (où les réinfections passées n'affectent pas la transmission de la maladie), le comportement global obéit à un modèle compartimental usuel. Des résultats asymptotiques sont établis et des formules donnant le nombre moyen de réinfections à l'équilibre endémique sont données. Nous étudions ensuite un modèle de réinfection à deux étages destiné à la modélisation de maladies pour lesquelles les réinfections ultérieures se comportent différemment de l'infection primaire. Nous décrivons en détail les équilibres du modèle, qui peut contenir jusqu'à trois équilibres endémiques, et étudions la persistance de la maladie. Grâce à la théorie de Li et Muldowney, nous prouvons la convergence asymptotique de chaque trajectoire dans un cas particulier qui peut présenter plusieurs équilibres endémiques. En utilisant la théorie des semigroupes, nous établissons ensuite le caractère bien-posé d'une classe de modèles structurés à la fois en âge et en nombre de réinfections. Ces derniers sont constitués d'un nombre infini d'équations aux dérivées partielles. Ceci permet de calculer plusieurs quantités intéressantes à l'équilibre endémique, telles que l'âge moyen dans chaque compartiment ou le nombre moyen de réinfections à chaque âge. Nous examinons enfin des questions de théorie du contrôle, plus précisément si l'utilisation de données supplémentaires sur les réinfections peut améliorer l'estimation des paramètres et de l'état. À cette fin, nous étudions l'identifiabilité et l'observabilité d'un modèle SIS, basées sur la mesure du nombre d'infectés et de primo-infectés, et proposons un observateur asymptotique et un observateur adaptatif respectivement pour l'estimation de l'état, et pour l'estimation conjointe de l'état et des paramètres.