Étude des propriétés de stabilité des réseaux chimiques stochastiques

Les modèles stochastiques de réseaux de réaction chimiques (CRN) représentent l'évolution temporelle du nombre de molécules des espèces présentes dans le système. Ce dernier est composé d'un nombre fini d'espèces, qui réagissent entre elles via un nombre fini de réactions chimiques. Initialement étudiés dans le cadre déterministe en considérant les concentrations de chaque espèce, les modèles stochastiques s'avèrent plus pertinents quand une des espèces est présente en petit nombre. L'état du système est donné par le nombre de molécules de chaque espèce au temps t. En associant une vitesse à chaque réaction, suivant la loi d'action de masse, le système est représenté par un processus de saut de Markov à temps continu. Les transitions du processus sont données par les réactions, et leur taux est polynomial en l'état du processus. Le choix de cette cinétique est à l'origine des deux spécificités de ces systèmes, qui seront étudiées dans ce manuscrit: premièrement, dû aux taux polynomiaux en l'état, le processus évolue sur plusieurs échelles de temps. Par ailleurs, sur les frontières du domaines (une espèce au moins est présente dans le système en petit nombre), les vitesses de réactions peuvent présenter des discontinuités. La superposition de ces deux particularités est à l'origine des comportements intéressants de ces processus. Dans ce manuscrit, nous étudions l'évolution temporelle de ces processus, en utilisant des outils de “scaling”, tels que le principe de “stochastic averaging” et des changements de temps. Le chapitre 2 aborde deux problématiques : premièrement, nous introduisons le critère de Filonov, utilisé pour montrer la stabilité de ces systèmes. Puis nous étudions différents exemples de CRN, dont les processus associés présentent des évolutions temporelles intéressantes. Dans le chapitre 3, nous étudions le processus associé à un exemple de réseau chimique. Nous montrons que, partant d'un état près du bord du domaine, le processus renormalisé converge vers un processus de Markov discontinu, de type AIMD (croissance additive, décroissance multiplicative). Dans le chapitre 4, nous étudions une classe de CRNs pour laquelle le processus associé présente une hiérarchie d'échelles de temps. Un théorème limite est montré pour le processus renormalisé. Le dernier chapitre 5 présente un résultat technique pour une classe de réseaux à deux espèces, et montre que si le processus part du centre du domaine, il retourne au bord en un temps intégrable, quel que soit le réseau regardé.