Contrôle stochastique avec pénalisation entropique

Cette thèse se concentre sur les problèmes de contrôle stochastique optimal avec des contraintes sur les lois marginales du processus d'état. Ces problèmes ont attiré beaucoup d'intérêt ces dernières années car ils offrent de nombreuses perspectives pratiques et théoriques. Ce travail est en particulier motivé par les applications de gestion de la demande dans les systèmes électriques. Plus précisément, nous nous intéressons au contrôle de la consommation électrique globale des agents sur une période d'un jour tout en imposant que la loi marginale terminale de l'état des agents soit égale à la loi initiale. L'intérêt de cette formulation est de définir, dans un environnement saisonnier, une procédure de contrôle périodique qui peut être reconduite à chaque période.Cette thèse présente une méthode originale de résolution des problèmes de contrôle stochastique optimal avec contraintes en loi, basée sur une reformulation en problèmes d'optimisation avec contraintes sur l'espace des mesures de probabilité. La variable de décision est alors scindée en deux variables de décision, chacune n'incluant qu'une partie spécifique des contraintes tandis que l'écart entre ces deux mesures de probabilité est pénalisé par l'ajout d'un terme d'entropie relative. Nous tirons parti de cette version pénalisée pour proposer une procédure de minimisation alternée afin d'obtenir une solution approchée du problème original. Cette procédure consiste à résoudre séquentiellement deux sous-problèmes simples, chacun se réduisant à minimiser la fonction objectif par rapport à une variable tandis que l'autre est fixée. Le premier sous-problème revient à minimiser ponctuellement une fonction de coût instantanée. La solution du second sous-problème peut être exprimée comme l' extit{exponential twist} d'une mesure de probabilité de référence (markovienne) dont l'étude constitue une partie importante de cette thèse. Il est prouvé que cette procédure alternée converge vers une solution approximative du problème de contrôle original sous diverses hypothèses permettant par exemple d'inclure des coûts instantanés non convexes par rapport à la variable de contrôle, ainsi que des dynamiques de diffusions avec sauts.