Transport optimal martingale et jeux à champ moyen avec graphon

Cette thèse s'intéresse à deux sujets distincts: le Transport Optimal Martingale (MOT) et la théorie des Jeux à champ moyen (MFG). Dans le cadre du MOT, trois projets indépendants sont développés : l'inégalité de Wasserstein martingale maximale dans le Chapitre 3, les couplages martingales croissants dans Chapitre 4, et les méthodes numériques pour le transport optimal faible au Chapitre 5. Dans le cadre des MFG, la thèse comprend un projet unique : les jeux à champ moyen étendus sur un graphon en temps discret, au Chapitre 6. Au Chapitre 3, nous achevons l'analyse de l'inégalité de Wasserstein martingale et démontrons qu'une inégalité maximale de Wasserstein martingale est valable quelle que soit la dimension d avec un paramètre d'intégrabilité rho geq 2. Au Chapitre 4, nous observons numériquement que le couplage martingale de Hobson et Neuberger, connu pour satisfaire une certaine propriété de croissance, permet d'approcher le maximum de l'intégrale de |y-x|^rho pour rho in (0,2), et le minimum pour rho > 2. Nous étudions l'optimalité de ce couplage d'un point de vue théorique. Nous identifions une décomposition de la seconde loi marginale qui est en bijection avec des couplages martingales croissants au sens généralisé. Au Chapitre 5, nous appliquons l'algorithme de Frank-Wolfe pour approcher les problèmes de Weak Optimal Transport et de Weak Martingale Optimal Transport dans une perspective d'optimisation. Au Chapitre 6, nous étudions des jeux de champ moyen étendus sur un graphon en temps discret, en intégrant des interactions conjointes entre les états et les actions dans l'agrégat du graphon. Nous établissons l'existence et l'unicité de l'équilibre de Nash sur le graphon sous diverses hypothèses et proposons un exemple numérique illustrant un investissement optimal avec un critère de performance relative.