Étude mathématique et numérique de modèles de Spray épais

Cette thèse est consacrée à la modélisation, à l'analyse mathématique et à l'analyse numérique d'un système d'équations aux dérivées partielles décrivant l'évolution d'une suspension de par- ticules neutres dans un fluide ambiant, souvent désignée sous le nom de spray. La phase dispersée est modélisée par les équations de la théorie cinétique, tandis que la phase continue est décrite par les équations de la mécanique des fluides. Nous nous concentrons en particulier sur le cas des sprays dits épais. Le chapitre 2 est consacré au problème de la construction de solutions pour le système des sprays épais. Nous introduisons un nouveau système dans lequel les termes singuliers sont régularisés et nous démontrons l'existence et l'unicité de solutions avec une régularité de type Sobolev, localement en temps. Le chapitre 3 explore l'analogie entre le système des sprays épais et le système de Vlasov- Poisson décrivant un plasma électrostatique. Nous montrons qu'en l'absence de friction, le système des sprays épais présente une propriété d'amortissement linéaire de l'énergie acoustique, analogue à l'amortissement de Landau bien connu en physique des plasmas. Cet effet est illustré par des résultats numériques. Le chapitre 4 est consacré à la simulation numérique du système des sprays épais. Nous proposons une approche combinant des méthodes existantes : une méthode semi-Lagrangienne pour la phase dispersée, couplée à une méthode de type Volume Fini pour la phase continue. Nous abordons également le problème de la limite de packing et introduisons deux méthodes permettant de conserver cette limite au niveau discret. Enfin, nous présentons des résultats numériques.