Systèmes de Contrôle Affine par Morceaux : Fragilité, Mise en Œuvre et Optimalité Inverse

Cette thèse examine la fragilité et l'optimalité inverse des lois de commande Affines par Morceaux (PWA) pour les systèmes dynamiques sous contraints. En intégrant des principes issus de la théorie de l'optimisation, de la théorie du contrôle, de la théorie des ensembles ainsi que des méthodes de type lift-and-project, nous abordons les défis critiques de l'implémentation des systèmes de commande PWA, en mettant l'accent sur la fragilité et les caractéristiques géométriques. Notre approche utilise des formulations basées sur les sommets, les arbres de recherche binaire et le lifting pour traiter ces problèmes de manière exhaustive.Pour aborder le problème de la fragilité dans la conception de systèmes contraints, nous définissons divers types de marges de fragilité et passons en revue la littérature pertinente sur leur construction. En nous concentrant sur la représentation par sommets des régions des partitions d'état, nous étudions la fragilité du contrôle PWA pour les systèmes linéaires discrets contraints, en évaluant particulièrement l'impact de l'incertitude dans la représentation des partitions de l'espace d'état polyédrique. Nous abordons l'incertitude conjointe dans la position des sommets en introduisant le concept de sensibilité couplée des sommets (CVS). Cette approche novatrice réduit la complexité computationnelle et le conservatisme par rapport aux méthodes de perturbation indépendante des sommets.Nous introduisons une stratégie d'arbre de recherche binaire pour analyser la fragilité des lois de contrôle PWA. Cette approche se concentre sur le stockage et la position au sein des partitions d'état, révélant que la formulation en arbre de recherche binaire élimine les problèmes de chevauchement et de non-couverture. Nous proposons des marges de fragilité à simple et multi-hyperplans en utilisant le Lemme de Farkas étendu et des modes de perturbation auxiliaires, traitant ainsi les défis pratiques de fragilité.L'application de la technique de lift-and-project aux systèmes de contrôle PWA démontre comment le lifting convexe peut aborder les problèmes de fragilité de manière globale, en assurant l'invariance positive du système en boucle fermée grâce à des marges basées sur le lifting. Nous abordons également le problème de commande inversement optimale (IOP) en développant un IOP basé sur la programmation quadratique (QP) et une approche de lifting convexe-concave pour préserver la structure géométrique des fonctions de rétroaction PWA. À travers une analyse mathématique rigoureuse, nous construisons des fonctions de coût quadratiques pour l'IOP, permettant la préservation des caractéristiques géométriques essentielles.Nous utilisons des exemples pour illustrer l'efficacité de chaque méthode. En résumé, cette thèse présente des avancées significatives dans l'analyse et la conception des systèmes PWA en boucle fermée, en proposant de nouvelles méthodes pour améliorer leur robustesse et leur optimalité. Nos résultats contribuent à l'évolution des systèmes de contrôle PWA, favorisant leur application sûre et efficace dans divers systèmes dynamiques contraints.