De milieux élastiques et poroélastiques 3D à des milieux 2D : modélisation asymptotique et applications

Les milieux continus tridimensionnels (3D) avec une dimension beaucoup plus petite que les deux autres sont omniprésents et jouent un rôle important dans l’ingénierie, y compris, par exemple, des plaques, des coques, des revêtements et des interphases minces en génie civil, en génie mécanique et en génie des matériaux. Un problème de première importance et de grand intérêt en mécanique est celui de remplacer un milieu continu 3D d’une faible épaisseur par un milieu continu bidimensionnel (2D) d’épaisseur nulle qui est équivalent au milieu 3D à une erreur acceptable près. Malgré le fait qu’un grand nombre de travaux dédiés à ce problème ont été rapportés, la présente thèse a pour objectif de proposer une approche novatrice qui est capable de traiter le problème d’une façon unifiée et indépendante de tout système de coordonnées et dont les applications conduisent à de nouveaux résultats. Pour atteindre l’objectif susmentionné, un milieu continu en forme d’une coque d’épaisseur uniforme est d’abord considéré. Après avoir rappelé les éléments principaux d’une théorie de géométrie différentielle sans utiliser un système de coordonnées et les relations Hadamard pour une interface courbée, un champ scalaire ou vectoriel défini dans la coque en question est ensuite exprimé en fonction du champ 2D correspondant défini sur sa surface médiane en utilisant le développement de Taylor avec un degré de précision quelconque au sens de l’analyse asymptotique. Lorsque les phénomènes de transport et d’élasticité sont concernés, les développements de Taylor en fonction des champs correspondants sur la surface médiane sont détaillés sans utiliser un système de coordonnées, faisant apparaître naturellement certains opérateurs de projection orthogonaux importants. Quand les plaques élastiques sont en jeu, en utilisant l’expression du développement de Taylor du champ des déplacements et en faisant appel à un principe variationnel, un modèle général de plaques est dérivé, incluant le modèle de plaques de Mindlin comme un cas particulier et étant valable pour toute symétrie élastique. Lorsqu’une plaque stratifiée élastique est en question, les opérateurs de projection orthogonaux sont utilisés pour son homogénéisation, et le simple modèle de plaques de Kirchhoff-Love appliqué à la plaque homogénéisée donne des résultats comparables à ceux fournis par le modèle zigzag compliqué largement utilisé. Enfin, un modèle général d’interface poroélastique imparfaite est établi en utilisant la technique du développement de Taylor et certains opérateurs de projection orthogonaux appropriés. Ce modèle général est implémenté numériquement par la méthode des éléments finis étendus et appliqué à l’homogénéisation des composites poroélastiques