Résultats d'approximation et de régularité pour le modèle d'Heston et processus associés

Cette thèse étudie les approximations et les résultats de régularité pour le modèle de volatilité stochastique de Heston. Des approximations faibles d'ordre élevé pour le processus CIR sont développées en utilisant une technique de grille aléatoire. Cette méthode surmonte les limitations des schémas standards. Elle permet d'obtenir une convergence de tout ordre pour des fonctions test régulières avec des dérivées de croissance polynomiales, sous une condition moins stricte que la fameuse condition de Feller. Des expériences numériques confirment ces résultats pour les modèles CIR et aussi Heston, démontrant des avantages significatifs en termes de calcul. L'approche de la grille aléatoire est ensuite étendue au processus log-Heston. Deux schémas de second ordre sont proposés, utilisant les techniques de splitting du générateur infinitésimal et la simulation exacte. Des preuves rigoureuses démontrent une convergence d'ordre élevé et des expériences numériques valident ces résultats pour l'évaluation de diverses options, y compris les options européennes et asiatiques. Enfin, la thèse analyse l'équation aux dérivées partielles (EDP) associée au modèle log-Heston. Les résultats classiques de solution sont étendus, et l'existence et l'unicité des solutions de viscosité sont prouvées sans dépendre de la condition de Feller. L'unicité est établie même pour des données initiales discontinues, ce qui est pertinent pour les applications financières telles que l'évaluation des options numériques. Un schéma numérique hybride converge vers la solution de viscosité sous des hypothèses de régularité relâchées.