Modélisation statistique en finance : volatilité rugueuse, impact de marché et processus de Hawkes

Cette thèse est divisée en trois parties, abordant des problématiques variées allant de l'inférence statistique à la modélisation financière.Dans la première partie, nous étudions divers problèmes d'inférence statistique en présence de bruit d'observation. En particulier, nous analysons l'estimation du paramètre de Hurst dans des modèles fractionnaires observés à des instants discrets et affectés par du bruit. Lorsque le bruit est composé de variables i.i.d., nous montrons que le paramètre de Hurst peut être estimé avec une vitesse de convergence de l'ordre de n^{1/(4H+2)}. Nous établissons également une théorie minimax démontrant l'optimalité de cet estimateur. Différents types de bruits sont considérés, engendrant différentes vitesses de convergence. Par la suite, nous nous intéressons au problème d'estimation de la mesure invariante d'un processus ergodique à partir d'observations bruitées. Plus précisément, nous montrons que lorsque les observations sont en haute fréquence, nous pouvons estimer la mesure invariante à une vitesse polynomiale, ce qui contraste fortement avec le cas des observations en basse fréquence où la vitesse d'estimation est logarithmique.La seconde partie est consacrée à l'estimation du paramètre de Hurst H dans les modèles à volatilité stochastique fractionnaire. Cette étude se déroule en trois étapes. Tout d'abord, nous montrons comment estimer H dans des modèles paramétriques en étendant la théorie minimax mentionnée précédemment, ce qui conduit au même taux de convergence n^{1/(4H+2)} que précédemment. Ensuite, nous appliquons cette méthode aux modèles semi-paramétriques couramment utilisés en pratique, incluant en particulier les dynamiques des modèles de rough Heston et de rough Bergomi. Afin de rendre cet estimateur applicable en pratique, y compris à partir de données haute fréquence, nous démontrons sa robustesse en présence de bruit de microstructure, ainsi que lorsque les processus de prix et de volatilité présentent des sauts. Cette étude théorique est accompagnée d'une analyse numérique réalisée à partir de données simulées, puis est appliquée à des données réelles constituées d'observations haute fréquence du S&P 500 sur une période de quatre ans.La dernière partie de cette thèse explore trois problématiques liées à la microstructure financière. Tout d'abord, nous examinons les limites d'échelle des processus de Hawkes multidimensionnels et analysons leur comportement dans des régimes de type champ moyen (mean-field). Nous montrons un résultat de propagation du chaos : lorsque les processus de Hawkes approchent leur régime critique, l'état global du système converge vers une équation différentielle stochastique de Volterra, et chaque particule devient indépendante conditionnellement à cet état moyen. Ensuite, nous étudions des modèles d'impact de prix pour des méta-ordres de grande taille. Plus précisément, nous montrons comment les modèles de prix basés sur les processus de Hawkes reproduisent divers faits stylisés concernant l'impact de marché. Nous mettons en évidence une dépendance de type loi de puissance par rapport au volume traité. Nous montrons également que l'impact de marché est proportionnel au taux de participation lorsque celui-ci est faible, et proportionnel à sa racine carrée lorsque celui-ci est élevé. Enfin, nous enrichissons ces modèles de prix pour inclure les ordres passifs, c'est-à-dire les transactions réalisées via des ordres limites.