Convolution de Day pour les bicatégories enrichies avec une application aux 2-foncteurs de Mackey

Cette thèse se compose de deux parties. Dans la première, nous étudions les bicatégories enrichies sur une bicatégorie monoïdale, comme définies par Garner-Shulman. Notre apport est de considérer un tressage sur la bicatégorie de base, tressage qui est nécessaire pour définir l'opposé d'une bicatégorie enrichie et le produit tensoriel de bicatégories enrichies. Cela nous permet de développer la théorie des ends et coends dans ce contexte.Dans la deuxième partie, nous étudions les 2-foncteurs de Mackey. Ceux-ci ont été introduits par Balmer-Dell'Ambrogio pour étudier les structures bicatégorielles issues des actions de groupes finis dans les mathématiques équivariantes. Nous montrons que la bicatégorie des 2-motifs de Mackey (qui est le codomaine du 2-foncteur de Mackey universel) admet une structure monoïdale symétrique canonique. Via les résultats théoriques de la première partie de la thèse, cette structure monoïdale symétrique permet de définir un produit de convolution de Day entre 2-foncteurs de Mackey. Grâce à ce produit de convolution, nous redéfinissons de manière simple la notion de 2-foncteur de Green comme étant un pseudomonoïde dans la bicatégorie monoïdale symétrique des 2-foncteurs de Mackey. Il s'agit d'une clarification conceptuelle de la théorie : cela fournit une analogie parfaite avec la théorie classique des foncteurs de Mackey et de Green dans le cadre des représentations des groupes finis.