Mosco convergence of gradient forms with non-convex potentials II

Abstract This article provides a scaling limit for a family of skew interacting Brownian motions in the context of mesoscopic interface models. Let $$M,d\in \mathbb {N}$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mi>M</mml:mi> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mi>d</mml:mi> <mml:mo>∈</mml:mo> <mml:mi>N</mml:mi> </mml:mrow> </mml:math> , $$y_1,\dots ,y_M\in \mathbb {R}$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mi>y</mml:mi> <mml:mn>1</mml:mn> </mml:msub> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mo>⋯</mml:mo> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:msub> <mml:mi>y</mml:mi> <mml:mi>M</mml:mi> </mml:msub> <mml:mo>∈</mml:mo> <mml:mi>R</mml:mi> </mml:mrow> </mml:math> , $$f\in C_b(\mathbb {R})$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mi>f</mml:mi> <mml:mo>∈</mml:mo> <mml:msub> <mml:mi>C</mml:mi> <mml:mi>b</mml:mi> </mml:msub> <mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mi>R</mml:mi> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> </mml:mrow> </mml:math> . For $$N\in \mathbb {N}$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mi>N</mml:mi> <mml:mo>∈</mml:mo> <mml:mi>N</mml:mi> </mml:mrow> </mml:math> we consider a $$k_N$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:msub> <mml:mi>k</mml:mi> <mml:mi>N</mml:mi> </mml:msub> </mml:math> -dimensional, skew reflecting distorted Brownian motion $$(X^{N,i}_t)_{i=1,\dots ,k_N}$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:msubsup> <mml:mi>X</mml:mi> <mml:mi>t</mml:mi> <mml:mrow> <mml:mi>N</mml:mi> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mi>i</mml:mi> </mml:mrow> </mml:msubsup> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi>i</mml:mi> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:mn>1</mml:mn> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mo>⋯</mml:mo> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:msub> <mml:mi>k</mml:mi> <mml:mi>N</mml:mi> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:math> , $$t\ge 0$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mi>t</mml:mi> <mml:mo>≥</mml:mo> <mml:mn>0</mml:mn> </mml:mrow> </mml:math> , and investigate its scaling limit for $$N\rightarrow \infty $$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mi>N</mml:mi> <mml:mo>→</mml:mo> <mml:mi>∞</mml:mi> </mml:mrow> </mml:math> . The drift includes skew reflections at height levels $$\tilde{y}_j:=N^{1-\frac{d}{2}}y_j$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mover> <mml:mi>y</mml:mi> <mml:mo>~</mml:mo> </mml:mover> <mml:mi>j</mml:mi> </mml:msub> <mml:mo>:</mml:mo> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:msup> <mml:mi>N</mml:mi> <mml:mrow> <mml:mn>1</mml:mn> <mml:mo>-</mml:mo> <mml:mfrac> <mml:mi>d</mml:mi> <mml:mn>2</mml:mn> </mml:mfrac> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:msub> <mml:mi>y</mml:mi> <mml:mi>j</mml:mi> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:math> with intensities $$\beta _j/N^d$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mi>β</mml:mi> <mml:mi>j</mml:mi> </mml:msub> <mml:mo>/</mml:mo> <mml:msup> <mml:mi>N</mml:mi> <mml:mi>d</mml:mi> </mml:msup> </mml:mrow> </mml:math> for $$j=1,\dots ,M$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mi>j</mml:mi> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:mn>1</mml:mn> <mml:mo>,</mml:mo