Boundary-driven quantum systems near the Zeno limit: steady states and long-time behavior

Abstract We study composite open quantum systems with a finite-dimensional state space $$\mathcal {H}_{AB} = \mathcal {H}_A\otimes \mathcal {H}_B$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mi>H</mml:mi> <mml:mrow> <mml:mi>AB</mml:mi> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:msub> <mml:mi>H</mml:mi> <mml:mi>A</mml:mi> </mml:msub> <mml:mo>⊗</mml:mo> <mml:msub> <mml:mi>H</mml:mi> <mml:mi>B</mml:mi> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:math> governed by a Lindblad equation $$\displaystyle {\frac{\textrm{d}}{\textrm{d}t}\rho (t) = \mathcal {L}_\gamma \rho (t)}$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mstyle> <mml:mrow> <mml:mfrac> <mml:mtext>d</mml:mtext> <mml:mrow> <mml:mtext>d</mml:mtext> <mml:mi>t</mml:mi> </mml:mrow> </mml:mfrac> <mml:mi>ρ</mml:mi> <mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mi>t</mml:mi> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:msub> <mml:mi>L</mml:mi> <mml:mi>γ</mml:mi> </mml:msub> <mml:mi>ρ</mml:mi> <mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mi>t</mml:mi> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> </mml:mrow> </mml:mstyle> </mml:math> where $$\mathcal {L}_\gamma \rho = -i[H,\rho ] + \gamma \mathcal {D}\rho $$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mi>L</mml:mi> <mml:mi>γ</mml:mi> </mml:msub> <mml:mi>ρ</mml:mi> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:mo>-</mml:mo> <mml:mi>i</mml:mi> <mml:mrow> <mml:mo>[</mml:mo> <mml:mi>H</mml:mi> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mi>ρ</mml:mi> <mml:mo>]</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mo>+</mml:mo> <mml:mi>γ</mml:mi> <mml:mi>D</mml:mi> <mml:mi>ρ</mml:mi> </mml:mrow> </mml:math> . Here, H is a Hamiltonian on $$\mathcal {H}_{AB}$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:msub> <mml:mi>H</mml:mi> <mml:mrow> <mml:mi>AB</mml:mi> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:math> while $$\mathcal {D}$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mi>D</mml:mi> </mml:math> is a dissipator $$\mathcal {D}_A\otimes \mathbbm {1}$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mi>D</mml:mi> <mml:mi>A</mml:mi> </mml:msub> <mml:mo>⊗</mml:mo> <mml:mn>1</mml:mn> </mml:mrow> </mml:math> acting non-trivially only on part A of the system, which can be thought of as the boundary, and $$\gamma $$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mi>γ</mml:mi> </mml:math> is a parameter. It is known that the dynamics may simplify as the Zeno limit, $$\gamma \rightarrow \infty $$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mi>γ</mml:mi> <mml:mo>→</mml:mo> <mml:mi>∞</mml:mi> </mml:mrow> </mml:math> , is approached, so that after a initial time of order $$\gamma ^{-1}$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:msup> <mml:mi>γ</mml:mi> <mml:mrow> <mml:mo>-</mml:mo> <mml:mn>1</mml:mn> </mml:mrow> </mml:msup> </mml:math> , $$\rho (t)$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mi>ρ</mml:mi> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mi>t</mml:mi> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> </mml:math> is well approximated by $$\pi _A\otimes R(t)$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mi>π</mml:mi> <mml:mi>A</mml:mi> </mml:msub> <mml:mo>⊗</mml:mo> <mml:mi>R</mml:mi> <mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mi>t</mml:mi> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> </mml:mrow> </mml:math>