Around the problem of global existence for compressible and viscous fluid mechanics systems with or without capillarity

Cette thèse est consacrée à l’étude de plusieurs systèmes modélisant des phénomènes de la mécanique des fluides, tels que l’écoulement de fluides visqueux, compressibles ou incompressibles, avec ou sans capillarité. Dans la première partie, nous revisitons les résultats d’existence locale en temps pour les solutions de systèmes hyperboliques partiellement diffusifs. Nous obtenons des résultats dans des espaces à régularité critique, pour des données initiales appropriées. Par la suite, nous établissons l’existence de solutions globales en temps pour de petites données initiales, dans des espaces de Besov homogènes critiques. Nous justifions également la convergence à temps grand vers des états stationnaires stables, avec un taux de convergence algébrique. La deuxième partie est dédiée à l’analyse du caractère bien posé global d’un écoulement compressible biphasique, incluant une transition de phase régulière. Plus précisément, nous montrons que, partant de données initiales grandes dans des espaces de Lebesgue, il est possible de construire des solutions globales en temps dans ces mêmes espaces. Enfin, la dernière partie porte sur l’étude d’un écoulement de fluide incompressible multiphasique. Si l’existence et l’unicité de solutions globales en temps sont bien comprises lorsque la densité initiale est bornée, la situation est moins comprise lorsque cette densité ne l’est pas. Nous démontrons que, si la densité initiale appartient à un espace de type Yudovich, il est néanmoins possible de construire des solutions globales en temps.