Singular harmonic mappings to metric graphs

Cette thèse porte sur l'étude des applications harmoniques renormalisées depuis une surface de Riemann vers des graphes. Les thématiques abordées comprennent le calcul des variations, les applications harmoniques, et la théorie des foliations de quadratiques différentielles holomorphes sur une surface de Riemann - en particulier les différentielles dites de Strebel-Jenkins. Le point de départ est l'étude d'applications harmoniques singulières à valeur dans un graphe. Le fait de prescrire des contraintes topologiques non triviales sur l'image de l'application autour d'un ensemble de points marqués conduit à une énergie harmonique divergente. Cette dernière peut néanmoins être renormalisée autour des points marqués, en s'inspirant de la procédure et du cadre introduit pour l'étude d'applications harmoniques à valeur dans un cercle. Ceci conduit aux notions d'application harmonique singulière, dont les singularités sont les points marqués, et d'énergie harmonique renormalisée associée. L'énergie harmonique renormalisée peut être considérée comme une fonction de la position des singularités, lorsque les contraintes topologiques ont été préalablement spécifiées. La différentielle de Hopf est un objet central dans cette étude, car la connaissance de cette quadratique différentielle holomorphe permet de reconstruire l'application harmonique. Dans cette thèse, je me suis intéressé à la caractérisation des résidus de la différentielle de Hopf et j'ai voulu comprendre la dépendance de ces coefficients par rapport aux singularités. Le résultat le plus important de cette thèse est la preuve que les résidus de la différentielle de Hopf sont des fonctions holomorphes de la position des singularités. Cette preuve est fondée sur l'observation que certaines périodes d'une surface de Riemann -obtenue en prenant la racine carrée de la différentielle de Hopf- restent invariantes lorsque la position des singularités varie. J'ai également établi que l'énergie renormalisée est une fonction pluriharmonique de la position des singularités, lorsque les contraintes topologiques ont été préalablement fixées. Enfin, j'ai proposé une estimation de l'énergie renormalisée, en utilisant le fait que la différentielle de Hopf est solution d'un problème variationnel spécifique aux différentielles de Strebel-Jenkins. Ces résultats sont présentés dans les chapitres 2 et 3, qui abordent respectivement le cas d'un graphe en forme de 8, et le cas plus général d'un graphe métrique enrubanné. Dans le cas particulier d'un graphe en forme de 8, je donne une description précise de la topologie de la foliation associée à la différentielle de Hopf, et dans le cas de n=4 singularités je donne une formule explicite pour l'énergie renormalisée. Dans le chapitre 4, je réponds à une question laissée ouverte dans un article d'Ignat-Jerrard, qui fait une étude complète des applications harmoniques sur des surfaces de Riemann à valeur dans le cercle. La question était de caractériser la dépendance du réseau des solutions en fonction des données du problème variationnel, cette dépendance étant implicite dans leur travail. J'ai réussi à calculer explicitement cette dépendance à l'aide de l'application d'Abel-Jacobi et la variété Jacobienne de la surface de Riemann associée.