Regularity of Wasserstein barycenters

Cette thèse porte sur l'étude des conditions géométriques qui gouvernent la régularité des barycentres de Wasserstein. L'objectif central est de comprendre comment la géométrie sous-jacente d'un espace métrique — en particulier, la présence ou l'absence d'une minoration de la courbure de Ricci — détermine si un barycentre est absolument continu ou singulier. La recherche aboutit à deux contributions principales, l'une concernant les espaces lisses et non-branchants (variétés riemanniennes) et l'autre les espaces singuliers et branchants (arbres métriques).La première contribution majeure établit la continuité absolue des barycentres de Wasserstein sur les variétés riemanniennes sous des hypothèses significativement plus faibles que celles connues auparavant. Cette thèse montre que sur toute variété riemannienne complète dotée d'une courbure de Ricci minorée, le barycentre de Wasserstein "dollar"mu_mathbb{P} "dollar" est garanti d'être absolument continu, à condition que sa mesure de probabilité définissante "dollar"mathbb{P} "dollar" sur l'espace de Wasserstein assigne une masse positive à l'ensemble des mesures absolument continues. Ce résultat assouplit considérablement les conditions des travaux antérieurs, qui exigeaient à la fois la compacité de la variété et que la mesure "dollar"mathbb{P} "dollar" assigne une masse positive à l'ensemble des mesures dont les densités sont uniformément bornées. La preuve introduit une approche novatrice reposant sur plusieurs nouveaux outils analytiques. Nous développons un nouveau type de fonctionnelles de déplacement, dont les propriétés découlent d'une nouvelle égalité hessienne pour les barycentres. Ces fonctionnelles permettent d'établir une estimation cruciale garantissant la régularité. De plus, la preuve intègre des outils de la théorie des espaces sousliniens pour lier l'hypothèse générale sur "dollar"mathbb{P} "dollar" aux conditions topologiques spécifiques requises par nos estimations fonctionnelles.La seconde contribution majeure est le développement d'un cadre systématique pour analyser et caractériser les barycentres de Wasserstein sur les arbres métriques, où l'absence d'une minoration synthétique de la courbure de Ricci peut engendrer un comportement complexe. Ce cadre, qui combine un principe de localisation novateur (la "propriété de restriction") avec des techniques qui ramènent les problèmes de transport sur les arbres au cadre plus simple de la droite réelle, fournit les outils nécessaires pour étudier en détail la structure de ces barycentres. Il permet une investigation méthodique de la manière dont la topologie de branchement de l'arbre génère des phénomènes tels que la singularité et la non-unicité, qui distinguent ces espaces des variétés.En résumé, cette thèse fait progresser notre compréhension des barycentres de Wasserstein en :1. Prouvant un résultat définitif sur leur continuité absolue sur les variétés à courbure de Ricci minorée, étayé par de nouveaux outils analytiques incluant des fonctionnelles de déplacement novatrices et l'application de la théorie des espaces sousliniens.2. Développant un cadre systématique pour caractériser les barycentres sur les arbres métriques, fournissant les outils pour analyser leur structure et leur singularité.