Exceptional embeddings of $$N=2$$ minimal models

Abstract Vafa and Warner observed that the Landau–Ginzburg model associated to the potential $$E_6$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:msub> <mml:mi>E</mml:mi> <mml:mn>6</mml:mn> </mml:msub> </mml:math> (resp. $$E_8$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:msub> <mml:mi>E</mml:mi> <mml:mn>8</mml:mn> </mml:msub> </mml:math> ) is a product of two other models, associated to the potentials $$A_2$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:msub> <mml:mi>A</mml:mi> <mml:mn>2</mml:mn> </mml:msub> </mml:math> and $$ A_3$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:msub> <mml:mi>A</mml:mi> <mml:mn>3</mml:mn> </mml:msub> </mml:math> (resp. $$A_2 $$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:msub> <mml:mi>A</mml:mi> <mml:mn>2</mml:mn> </mml:msub> </mml:math> and $$ A_4$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:msub> <mml:mi>A</mml:mi> <mml:mn>4</mml:mn> </mml:msub> </mml:math> ). We translate this along the Landau–Ginzburg/conformal field theory correspondence to a conjecture about the unitary minimal quotients $$M_d$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:msub> <mml:mi>M</mml:mi> <mml:mi>d</mml:mi> </mml:msub> </mml:math> of the $$N=2$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mi>N</mml:mi> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:mn>2</mml:mn> </mml:mrow> </mml:math> superconformal algebra of central charge $$c_d=3-\frac{6}{d}$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mi>c</mml:mi> <mml:mi>d</mml:mi> </mml:msub> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:mn>3</mml:mn> <mml:mo>-</mml:mo> <mml:mfrac> <mml:mn>6</mml:mn> <mml:mi>d</mml:mi> </mml:mfrac> </mml:mrow> </mml:math> : there should be a conformal embedding $$M_{12}\hookrightarrow M_{3} \otimes M_4$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mi>M</mml:mi> <mml:mn>12</mml:mn> </mml:msub> <mml:mo>↪</mml:mo> <mml:msub> <mml:mi>M</mml:mi> <mml:mn>3</mml:mn> </mml:msub> <mml:mo>⊗</mml:mo> <mml:msub> <mml:mi>M</mml:mi> <mml:mn>4</mml:mn> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:math> (resp. $$M_{30}\hookrightarrow M_{3} \otimes M_5$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mi>M</mml:mi> <mml:mn>30</mml:mn> </mml:msub> <mml:mo>↪</mml:mo> <mml:msub> <mml:mi>M</mml:mi> <mml:mn>3</mml:mn> </mml:msub> <mml:mo>⊗</mml:mo> <mml:msub> <mml:mi>M</mml:mi> <mml:mn>5</mml:mn> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:math> ) that exhibits the product as Ostrik’s $$E_6$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:msub> <mml:mi>E</mml:mi> <mml:mn>6</mml:mn> </mml:msub> </mml:math> (resp. $$E_8$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:msub> <mml:mi>E</mml:mi> <mml:mn>8</mml:mn> </mml:msub> </mml:math> ) algebra in the $$\textbf{Rep}(su(2)_{10})$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mi>Rep</mml:mi> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mi>s</mml:mi> <mml:mi>u</mml:mi> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mn>2</mml:mn> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mn>10</mml:mn>