A dynamical Amrein-Berthier uncertainty principle

Abstract Given a selfadjoint magnetic Schrödinger operator $$\begin{aligned} H = ( i \partial + A(x) )^2 + V(x) \end{aligned}$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mtable> <mml:mtr> <mml:mtd> <mml:mrow> <mml:mi>H</mml:mi> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mi>i</mml:mi> <mml:mi>∂</mml:mi> <mml:mo>+</mml:mo> <mml:mi>A</mml:mi> <mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mi>x</mml:mi> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mn>2</mml:mn> </mml:msup> <mml:mo>+</mml:mo> <mml:mi>V</mml:mi> <mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mi>x</mml:mi> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> </mml:mrow> </mml:mtd> </mml:mtr> </mml:mtable> </mml:mrow> </mml:math> on $$L^{2}(\mathbb {R}^n)$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:msup> <mml:mi>L</mml:mi> <mml:mn>2</mml:mn> </mml:msup> <mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi>R</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mi>n</mml:mi> </mml:msup> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> </mml:mrow> </mml:math> , with V ( x ) strictly subquadratic and A ( x ) strictly sublinear, we prove that the flow $$u(t)=e^{-itH}u(0)$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mi>u</mml:mi> <mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mi>t</mml:mi> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:msup> <mml:mi>e</mml:mi> <mml:mrow> <mml:mo>-</mml:mo> <mml:mi>i</mml:mi> <mml:mi>t</mml:mi> <mml:mi>H</mml:mi> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:mi>u</mml:mi> <mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mn>0</mml:mn> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> </mml:mrow> </mml:math> satisfies an Amrein–Berthier type inequality $$\begin{aligned} \Vert u(t)\Vert _{L^{2}}\lesssim _{E,F,T,A,V} \Vert u(0)\Vert _{L^{2}(E^{c})} + \Vert u(T)\Vert _{L^{2}(F^{c})}, \qquad 0\le t\le T \end{aligned}$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mtable> <mml:mtr> <mml:mtd> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mo>‖</mml:mo> <mml:mi>u</mml:mi> <mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mi>t</mml:mi> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mo>‖</mml:mo> </mml:mrow> <mml:msup> <mml:mi>L</mml:mi> <mml:mn>2</mml:mn> </mml:msup> </mml:msub> <mml:msub> <mml:mo>≲</mml:mo> <mml:mrow> <mml:mi>E</mml:mi> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mi>F</mml:mi> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mi>T</mml:mi> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mi>A</mml:mi> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mi>V</mml:mi> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mo>‖</mml:mo> <mml:mi>u</mml:mi> <mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mn>0</mml:mn> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mo>‖</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:msup> <mml:mi>L</mml:mi> <mml:mn>2</mml:mn> </mml:msup> <mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:msup> <mml:mi>E</mml:mi> <mml:mi>c</mml:mi> </mml:msup> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo>+</mml:mo> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mo>‖</mml:mo> <mml:mi>u</mml:mi> <mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mi>T</mml:mi> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mo>‖</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:msup> <mml:mi>L</mml:mi> <mml:mn>2</mml:mn> </mml:msup> <mml:mrow>