How close is too close for singular mean curvature flows?

Abstract Suppose $$(M^i_t)_{t\in [0,T)}$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:msubsup> <mml:mi>M</mml:mi> <mml:mi>t</mml:mi> <mml:mi>i</mml:mi> </mml:msubsup> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi>t</mml:mi> <mml:mo>∈</mml:mo> <mml:mo>[</mml:mo> <mml:mn>0</mml:mn> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mi>T</mml:mi> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:math> , $$i=1,2$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mi>i</mml:mi> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:mn>1</mml:mn> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mn>2</mml:mn> </mml:mrow> </mml:math> , are two mean curvature flows in $$\mathbb {R}^{n+1}$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi>R</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi>n</mml:mi> <mml:mo>+</mml:mo> <mml:mn>1</mml:mn> </mml:mrow> </mml:msup> </mml:math> encountering a multiplicity one compact singularity at time T , in such a manner that for every k , the Hausdorff distance between the two flows, $$d_H$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:msub> <mml:mi>d</mml:mi> <mml:mi>H</mml:mi> </mml:msub> </mml:math> , satisfies $$d_{H}(M^1_t,M^2_t)/(T-t)^k \rightarrow 0$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mi>d</mml:mi> <mml:mi>H</mml:mi> </mml:msub> <mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:msubsup> <mml:mi>M</mml:mi> <mml:mi>t</mml:mi> <mml:mn>1</mml:mn> </mml:msubsup> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:msubsup> <mml:mi>M</mml:mi> <mml:mi>t</mml:mi> <mml:mn>2</mml:mn> </mml:msubsup> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mo>/</mml:mo> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mi>T</mml:mi> <mml:mo>-</mml:mo> <mml:mi>t</mml:mi> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mi>k</mml:mi> </mml:msup> <mml:mo>→</mml:mo> <mml:mn>0</mml:mn> </mml:mrow> </mml:math> . We demonstrate that $$M^1_t=M^2_t$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:msubsup> <mml:mi>M</mml:mi> <mml:mi>t</mml:mi> <mml:mn>1</mml:mn> </mml:msubsup> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:msubsup> <mml:mi>M</mml:mi> <mml:mi>t</mml:mi> <mml:mn>2</mml:mn> </mml:msubsup> </mml:mrow> </mml:math> for every t . This generalizes a result of Martin-Hagemayer and Sesum, who proved the case where $$M^1_t$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:msubsup> <mml:mi>M</mml:mi> <mml:mi>t</mml:mi> <mml:mn>1</mml:mn> </mml:msubsup> </mml:math> is itself a self-similarly shrinking flow.