Free Probability Theory over the Scaled Hyperbolic Numbers

Abstract In this paper, we introduce a notion of free probability over the scaled hyperbolic numbers. Scaled hypercomplex numbers $$\left\{ \mathbb {D}_{t}\right\} _{t\in \mathbb {R}}$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:msub> <mml:mfenced> <mml:msub> <mml:mi>D</mml:mi> <mml:mi>t</mml:mi> </mml:msub> </mml:mfenced> <mml:mrow> <mml:mi>t</mml:mi> <mml:mo>∈</mml:mo> <mml:mi>R</mml:mi> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:math> are constructed as sub-structures of scaled hypercomplex numbers $$\left\{ \mathbb {H}_{t}\right\} _{t\in \mathbb {R}}$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:msub> <mml:mfenced> <mml:msub> <mml:mi>H</mml:mi> <mml:mi>t</mml:mi> </mml:msub> </mml:mfenced> <mml:mrow> <mml:mi>t</mml:mi> <mml:mo>∈</mml:mo> <mml:mi>R</mml:mi> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:math> under the scales (or, the moments) of the set $$\mathbb {R}$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mi>R</mml:mi> </mml:math> of real numbers. We show that if $$t&lt;0$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mi>t</mml:mi> <mml:mo>&lt;</mml:mo> <mml:mn>0</mml:mn> </mml:mrow> </mml:math> , then the classical free probability theory covers our free probability on $$\left\{ \mathbb {D}_{t}\right\} _{t&lt;0}$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:msub> <mml:mfenced> <mml:msub> <mml:mi>D</mml:mi> <mml:mi>t</mml:mi> </mml:msub> </mml:mfenced> <mml:mrow> <mml:mi>t</mml:mi> <mml:mo>&lt;</mml:mo> <mml:mn>0</mml:mn> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:math> ; if $$t&gt;0$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mi>t</mml:mi> <mml:mo>&gt;</mml:mo> <mml:mn>0</mml:mn> </mml:mrow> </mml:math> , then our free probability on $$\left\{ \mathbb {D}_{t}\right\} _{t&gt;0}$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:msub> <mml:mfenced> <mml:msub> <mml:mi>D</mml:mi> <mml:mi>t</mml:mi> </mml:msub> </mml:mfenced> <mml:mrow> <mml:mi>t</mml:mi> <mml:mo>&gt;</mml:mo> <mml:mn>0</mml:mn> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:math> is represented by the free probability over the classical hyperbolic numbers $$\mathcal {D}=\mathbb {D}_{1}$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mi>D</mml:mi> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:msub> <mml:mi>D</mml:mi> <mml:mn>1</mml:mn> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:math> ; and if $$t=0$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mi>t</mml:mi> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:mn>0</mml:mn> </mml:mrow> </mml:math> , then the free probability on $$\mathbb {D}_{0}$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:msub> <mml:mi>D</mml:mi> <mml:mn>0</mml:mn> </mml:msub> </mml:math> is actually over the dual numbers $$\textbf{D}=\mathbb {D}_{0}$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mi>D</mml:mi> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:msub> <mml:mi>D</mml:mi> <mml:mn>0</mml:mn> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:math> . Since the usual free probability theory is over $$\mathbb {C}$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mi>C</mml:mi> </mml:math> , we here concentrate on establishing our free probability theory on $$\mathcal {D}$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mi>D</mml:mi> </mml:math> , or that on $$\textbf{D}$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML