𝑞-supercongruences for double series with parameters

In this paper, we establish two <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="q"> <mml:semantics> <mml:mi>q</mml:mi> <mml:annotation encoding="application/x-tex">q</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> -supercongruences for double series with parameters. When the parameters are specified, they reduce to two known results and can produce a lot of new supercongruences including the following two ones: <disp-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="StartLayout 1st Row 1st Column Blank 2nd Column a m p semicolon sigma-summation Underscript k equals 0 Overscript left-parenthesis p minus 1 right-parenthesis slash 2 Endscripts left-parenthesis 4 k plus 1 right-parenthesis StartFraction left-parenthesis one half right-parenthesis Subscript k Superscript 3 Baseline Over left-parenthesis 1 right-parenthesis Subscript k Superscript 3 Baseline EndFraction sigma-summation Underscript j equals 1 Overscript 2 k Endscripts StartFraction left-parenthesis negative 1 right-parenthesis Superscript k plus j plus 1 Baseline Over j squared EndFraction identical-to p sigma-summation Underscript k equals 0 Overscript left-parenthesis p minus 1 right-parenthesis slash 2 Endscripts StartFraction left-parenthesis one half right-parenthesis Subscript k Superscript 2 Baseline Over left-parenthesis 1 right-parenthesis Subscript k Superscript 2 Baseline EndFraction sigma-summation Underscript j equals 1 Overscript k Endscripts StartFraction 1 Over left-parenthesis 2 j minus 1 right-parenthesis squared EndFraction left-parenthesis mod p squared right-parenthesis comma EndLayout"> <mml:semantics> <mml:mtable columnalign="right left right left right left right left right left right left" rowspacing="3pt" columnspacing="0em 2em 0em 2em 0em 2em 0em 2em 0em 2em 0em" side="left" displaystyle="true"> <mml:mtr> <mml:mtd/> <mml:mtd> <mml:mi>a</mml:mi> <mml:mi>m</mml:mi> <mml:mi>p</mml:mi> <mml:mo>;</mml:mo> <mml:munderover> <mml:mo> ∑ </mml:mo> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mi>k</mml:mi> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:mn>0</mml:mn> </mml:mrow> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mi>p</mml:mi> <mml:mo> − </mml:mo> <mml:mn>1</mml:mn> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mo>/</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mn>2</mml:mn> </mml:mrow> </mml:munderover> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mn>4</mml:mn> <mml:mi>k</mml:mi> <mml:mo>+</mml:mo> <mml:mn>1</mml:mn> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> <mml:mfrac> <mml:mrow> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mfrac> <mml:mn>1</mml:mn> <mml:mn>2</mml:mn> </mml:mfrac> <mml:msubsup> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> <mml:mi>k</mml:mi> <mml:mn>3</mml:mn> </mml:msubsup> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mn>1</mml:mn> <mml:msubsup> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> <mml:mi>k</mml:mi> <mml:mn>3</mml:mn> </mml:msubsup> </mml:mrow> </mml:mfrac> <mml:munderover> <mml:mo> ∑ </mml:mo> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mi>j</mml:mi> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:mn>1</mml:mn> </mml:mrow> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mn>2</mml:mn> <mml:mi>k</mml:mi> </mml:mrow> </mml:munderover> <mml:mfrac> <mml:mrow> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mo> − </mml:mo> <mml:mn>1</mml:mn> <mml:msup> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mi>k</mml:mi> <mml:mo>+</mml:mo> <mml:mi>j</mml:mi> <mml:mo>+</mml:mo> <mml:mn>1</mml:mn> </mml:mrow> </mml:msup> </mml:mrow> <mml:msup> <mml:mi>j</mml:mi> <mml:mn>2</mml:mn> </mml:msup> </mml:mfrac> <mml:mo> ≡ </mml:mo> <mml:mi>p</mml:mi> <mml:mspace width="negativethinmathspace"/> <mml:mspace width="negativethinmathspace"/> <mml:munderover> <mml:mo> ∑ </mml:mo> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mi>k</mml:mi> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:mn>0</mml:mn> </mml:mrow> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mi>p</mml:mi> <mml:mo> − </mml:mo> <mml:mn>1</mml:mn> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mo>/</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mn>2</mml:mn> </mml:mrow> </mml:munderover> <mml:mfrac> <mml:mrow> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mfrac> <mml:mn>1</mml:mn> <mml:mn>2</mml:mn> </mml:mfrac> <mml:msubsup> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> <mml:mi>k</mml:mi> <mml:mn>2</mml:mn> </mml:msubsup> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mo stretchy=