Construction of reduced-order models with mesh adaptation

De nombreuses applications scientifiques et d’ingénierie nécessitent la résolution de problèmes de mécanique des fluides numérique pour de multiples configurations. Pour ce genre de problème, il est important de réduire le coût marginal associé à une simulation donnée pour un intervalle de paramètres. La réduction de modèle (MOR: model order reduction) s’appuie sur une décomposition offline/online pour réduire les coûts marginaux. Dans la phase offline, on s’appuie sur des simulations haute-fidélité (hf) pour construire un modèle d’ordre réduit (ROM: reduced order model) pour approcher la solution sur l’intervalle des paramètres. La phase online, ou de déploiement, consiste à interroger le ROM pour de nouvelles valeurs du paramètre pour estimer la solution. On s’intéresse particulièrement à des procédures automatiques pour la phase d’apprentissage et de déploiement. L’approximation d’EDPs dominées par l’advection posent des problèmes fondamentaux aux méthodes de réduction de modèle a la pointe de l’état de l’art. Premièrement, en dépit d’avancées récentes en calcul haute performance et analyse numérique, les approximations hf nécessitent des ressources en calcul très importantes, réduisant le nombre de solutions (échantillons) utilisées pour construire le ROM. De plus, les méthodes d’approximation linéaires sont totalement inadaptées pour le traitement de discontinuités dépendant d’un paramètre, ce qui motive le développement d’approches non linéaires. Troisièmement, les techniques de MOR reposent sur la projection des équations sur un maillage hf unique, et repose donc sur l’hypothèse que ce maillage hf est précis pour tous les paramètres de l’intervalle. Pour des problèmes avec des chocs, des techniques de type Adaptive Mesh Refinement sont utilisées sur de larges portions du domaine conduisant à des maillages de tailles trop élevées. L’adaptation de maillage cherche à améliorer la précision des simulations numériques tout en réduisant le coût de calcul associé par l’optimisation automatique du maillage au cours du calcul. Plus précisément, dans les méthodes d’adaptation anisotropes, la taille et l’orientation des éléments sont modifiées pour minimiser un certain modèle d’erreur numérique, afin de garantir un maillage de taille optimale pour un certaine précision voulue. Un processus non linéaire est utilisé pour assurer la convergence du couple maillage/solution vers l’optimum pour le modèle d’erreur considéré. L’adaptation anisotrope est également capable de gérer des problèmes instationnaires avec des géométries complexes mobiles. L’objectif de la thèse est d’étudier une nouvelle technique de réduction de modèle intégrant adaptations anisotrope pour la résolution de problèmes non-linéaires dominés par l’advection, en particulier dans le cas d’écoulements aérodynamiques et hydrauliques. Les solutions de ces problèmes sont caractérisées par des chocs et discontinuités de contact dépendant de paramètres. Pour ce faire, des techniques de réduction de modèles avec recalage paramétrique seront combinées avec des techniques d’adaptation de maillage paramétrique. Le recalage paramétrique s’appuie sur une application paramétrique pour identifier et suivre les caractéristiques d’intérêt de la solution et ultimement améliorer les performances de méthodes de compression linéaires telles que la Proper Orthogonal Decomposition (POD). L’adaptation de maillage paramétrique désigne l’adaptation d’un maillage pour un certain nombre de configurations. Sous réserve que l’application paramétrique soit efficace pour suivre les caractéristiques mobiles de la solution, l’adaptation de maillage devrait permettre de réduire considérablement la taille des maillages en comparaison avec le raffinement uniforme (AMR), quelque soit la précision requise.