Quasi-invariance of the Gaussian measure for the two-dimensional stochastic cubic nonlinear wave equation

Abstract We consider the stochastic damped nonlinear wave equation $$\partial _t^{2}u+\partial _t u+u-\Delta u +u^{3} = \sqrt{2} {\langle {\nabla }\rangle ^{-s}} \xi $$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:msubsup> <mml:mi>∂</mml:mi> <mml:mi>t</mml:mi> <mml:mn>2</mml:mn> </mml:msubsup> <mml:mi>u</mml:mi> <mml:mo>+</mml:mo> <mml:msub> <mml:mi>∂</mml:mi> <mml:mi>t</mml:mi> </mml:msub> <mml:mi>u</mml:mi> <mml:mo>+</mml:mo> <mml:mi>u</mml:mi> <mml:mo>-</mml:mo> <mml:mi>Δ</mml:mi> <mml:mi>u</mml:mi> <mml:mo>+</mml:mo> <mml:msup> <mml:mi>u</mml:mi> <mml:mn>3</mml:mn> </mml:msup> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:msqrt> <mml:mn>2</mml:mn> </mml:msqrt> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mo>⟨</mml:mo> <mml:mi>∇</mml:mi> <mml:mo>⟩</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mo>-</mml:mo> <mml:mi>s</mml:mi> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:mi>ξ</mml:mi> </mml:mrow> </mml:math> on the two-dimensional torus $$\mathbb T^2$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:msup> <mml:mi>T</mml:mi> <mml:mn>2</mml:mn> </mml:msup> </mml:math> , where $$\xi $$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mi>ξ</mml:mi> </mml:math> denotes a space-time white noise and $$s&gt;0$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mi>s</mml:mi> <mml:mo>&gt;</mml:mo> <mml:mn>0</mml:mn> </mml:mrow> </mml:math> . We show that the measure $$\vec {\mu }_s$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:msub> <mml:mover> <mml:mi>μ</mml:mi> <mml:mo>→</mml:mo> </mml:mover> <mml:mi>s</mml:mi> </mml:msub> </mml:math> corresponding to the unique invariant measure for the flow of the associated linear equation is quasi-invariant under the nonlinear stochastic flow.