Entropic optimal transport and semigeostrophic equations

On s'intéresse dans cette thèse à l'utilisation de la dualité convexe et de la régularisation entropique pour résoudre des problèmes de transport optimal, ou proches de ce dernier. On commence par démontrer des asymptotiques précis vers le problème classique de transport optimal. On poursuit en étudiant une classe spécifiques de transports faibles (incluant le transport martingale) pour lesquels on démontre que la dualité convexe et la régularisation entropique sont efficaces. Une grande partie de la thèse est ensuite consacrée à la résolution numérique des équations semigeostrophiques, qui ont été parmi les premières équations aux dérivées partielles à être reliées au transport optimal. Enfin dans une dernière partie indépendante, on s'intéresse à la convexité géodésique de certaines fonctionnelles issues des inégalités fonctionnelles.