$$C^*$$-Categorical Prefactorization Algebras for Superselection Sectors and Topological Order

Abstract This paper presents a conceptual and efficient geometric framework to encode the algebraic structures on the category of superselection sectors of an algebraic quantum field theory on the n -dimensional lattice $$\mathbb {Z}^n$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi>Z</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mi>n</mml:mi> </mml:msup> </mml:math> . It is shown that, under the typical assumption of Haag duality, the monoidal $$C^*$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:msup> <mml:mi>C</mml:mi> <mml:mo>∗</mml:mo> </mml:msup> </mml:math> -categories of localized superselection sectors carry the structure of a locally constant prefactorization algebra over the category of cone-shaped subsets of $$\mathbb {Z}^n$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi>Z</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mi>n</mml:mi> </mml:msup> </mml:math> . Employing techniques from higher algebra, one extracts from this datum an underlying locally constant prefactorization algebra defined on open disks in the cylinder $$\mathbb {R}^1\times \mathbb {S}^{n-1}$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi>R</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mn>1</mml:mn> </mml:msup> <mml:mo>×</mml:mo> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi>S</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi>n</mml:mi> <mml:mo>-</mml:mo> <mml:mn>1</mml:mn> </mml:mrow> </mml:msup> </mml:mrow> </mml:math> . While the sphere $$\mathbb {S}^{n-1}$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi>S</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi>n</mml:mi> <mml:mo>-</mml:mo> <mml:mn>1</mml:mn> </mml:mrow> </mml:msup> </mml:math> arises geometrically as the angular coordinates of cones, the origin of the line $$\mathbb {R}^1$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi>R</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mn>1</mml:mn> </mml:msup> </mml:math> is analytic and rooted in Haag duality. The usual braided (for $$n=2$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mi>n</mml:mi> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:mn>2</mml:mn> </mml:mrow> </mml:math> ) or symmetric (for $$n\ge 3$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mi>n</mml:mi> <mml:mo>≥</mml:mo> <mml:mn>3</mml:mn> </mml:mrow> </mml:math> ) monoidal $$C^*$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:msup> <mml:mi>C</mml:mi> <mml:mo>∗</mml:mo> </mml:msup> </mml:math> -categories of superselection sectors are recovered by removing a point of the sphere $$\mathbb {R}^1\times (\mathbb {S}^{n-1}\setminus \text {pt}) \cong \mathbb {R}^n$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi>R</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mn>1</mml:mn> </mml:msup> <mml:mo>×</mml:mo> <mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi>S</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi>n</mml:mi> <mml:mo>-</mml:mo> <mml:mn>1</mml:mn> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:mo>\</mml:mo> <mml:mtext>pt</mml:mtext> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mo>≅</mml:mo> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi>R</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mi>n</mml:mi> </mml:msup> </mml:mrow> </mml:math> and using the equivalence between $$\mathbb {E}_n$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:msub> <mml:mi>E</mml:mi> <mml:mi>n</mml:mi> </mml:msub> </mml:math> -algebras and locally constant prefactorization algebras defined on open disks in $$\mathbb {R}^n$$ <mml:math xmlns: