Factorization of multiparticle contributions to amplitudes of B-meson weak decays

Abstract We show that multiparticle contributions to amplitudes of weak decays of the generic topology (heavy quark hits some intermediate point of the propagator line joining the end-points from which momenta q and $$q'$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:msup> <mml:mi>q</mml:mi> <mml:mo>′</mml:mo> </mml:msup> </mml:math> are emitted) is given in the heavy quark limit and at the leading order in $$\alpha _s$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:msub> <mml:mi>α</mml:mi> <mml:mi>s</mml:mi> </mml:msub> </mml:math> by the convolution of (i) hard kernel composed of highly virtual propagators of light degrees of freedom and (ii) the B -meson multiparticle wave function, $$\langle 0|\phi (x)\phi (x_1)\cdots \phi (x_n)\phi _b(0)\phi (x'_{n'})\cdots \phi (x'_1)\phi (x')|B(p)\rangle $$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mo>⟨</mml:mo> <mml:mn>0</mml:mn> <mml:mo>|</mml:mo> <mml:mi>ϕ</mml:mi> <mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mi>x</mml:mi> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mi>ϕ</mml:mi> <mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:msub> <mml:mi>x</mml:mi> <mml:mn>1</mml:mn> </mml:msub> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mo>⋯</mml:mo> <mml:mi>ϕ</mml:mi> <mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:msub> <mml:mi>x</mml:mi> <mml:mi>n</mml:mi> </mml:msub> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:msub> <mml:mi>ϕ</mml:mi> <mml:mi>b</mml:mi> </mml:msub> <mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mn>0</mml:mn> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mi>ϕ</mml:mi> <mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:msubsup> <mml:mi>x</mml:mi> <mml:msup> <mml:mi>n</mml:mi> <mml:mo>′</mml:mo> </mml:msup> <mml:mo>′</mml:mo> </mml:msubsup> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mo>⋯</mml:mo> <mml:mi>ϕ</mml:mi> <mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:msubsup> <mml:mi>x</mml:mi> <mml:mn>1</mml:mn> <mml:mo>′</mml:mo> </mml:msubsup> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mi>ϕ</mml:mi> <mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:msup> <mml:mi>x</mml:mi> <mml:mo>′</mml:mo> </mml:msup> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mo>|</mml:mo> <mml:mi>B</mml:mi> <mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mi>p</mml:mi> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mo>⟩</mml:mo> </mml:mrow> </mml:math> , in a double-collinear light-cone configuration: the coordinates $$x,x_1,\ldots ,x_n$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mi>x</mml:mi> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:msub> <mml:mi>x</mml:mi> <mml:mn>1</mml:mn> </mml:msub> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mo>…</mml:mo> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:msub> <mml:mi>x</mml:mi> <mml:mi>n</mml:mi> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:math> are ordered and aligned along the light-like 4-vector $$a_\mu $$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:msub> <mml:mi>a</mml:mi> <mml:mi>μ</mml:mi> </mml:msub> </mml:math> , $$a^2=0$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:msup> <mml:mi>a</mml:mi> <mml:mn>2</mml:mn> </mml:msup> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:mn>0</mml:mn> </mml:mrow> </mml:math> , $$q_\mu \propto a_\mu $$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mi>q</mml:mi> <mml:mi>μ</mml:mi> </mml:msub> <mml:mo>∝</mml:mo> <mml:msub> <mml:mi>a</mml:mi> <mml:mi>μ</mml:mi> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:math> , while the coordinates $$x',x_1',\ldots ,x'_{n'}$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:msup> <mml:mi>x</mml:mi> <mml:mo>′</mml:mo> </mml:msup> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:msubsup> <mml:mi>x</mml:mi> <mml:mn>1</mml:mn> <mml:mo>′</mml:mo> </mml:msubsup>