Large-data regular solutions in a one-dimensional thermoviscoelastic evolution problem involving temperature-dependent viscosities

Abstract The model $$\begin{aligned} \left\{ \begin{array}{l}u_{tt} = \big (\gamma (\Theta ) u_{xt}\big )_x + au_{xx} - \big (f(\Theta )\big )_x, \\[1mm] \Theta _t = \Theta _{xx} + \gamma (\Theta ) u_{xt}^2 - f(\Theta ) u_{xt}, \end{array} \right. \end{aligned}$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mtable> <mml:mtr> <mml:mtd> <mml:mfenced> <mml:mrow> <mml:mtable> <mml:mtr> <mml:mtd> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mi>u</mml:mi> <mml:mrow> <mml:mi>tt</mml:mi> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mi>γ</mml:mi> <mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mi>Θ</mml:mi> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:msub> <mml:mi>u</mml:mi> <mml:mrow> <mml:mi>xt</mml:mi> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mi>x</mml:mi> </mml:msub> <mml:mo>+</mml:mo> <mml:mi>a</mml:mi> <mml:msub> <mml:mi>u</mml:mi> <mml:mrow> <mml:mi>xx</mml:mi> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo>-</mml:mo> <mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mi>f</mml:mi> <mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mi>Θ</mml:mi> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mi>x</mml:mi> </mml:msub> <mml:mo>,</mml:mo> </mml:mrow> </mml:mtd> </mml:mtr> <mml:mtr> <mml:mtd> <mml:mrow> <mml:mrow/> <mml:mrow> <mml:mo>[</mml:mo> <mml:mn>1</mml:mn> <mml:mi>m</mml:mi> <mml:mi>m</mml:mi> <mml:mo>]</mml:mo> </mml:mrow> <mml:msub> <mml:mi>Θ</mml:mi> <mml:mi>t</mml:mi> </mml:msub> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:msub> <mml:mi>Θ</mml:mi> <mml:mrow> <mml:mi>xx</mml:mi> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo>+</mml:mo> <mml:mi>γ</mml:mi> <mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mi>Θ</mml:mi> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:msubsup> <mml:mi>u</mml:mi> <mml:mrow> <mml:mi>xt</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mn>2</mml:mn> </mml:msubsup> <mml:mo>-</mml:mo> <mml:mi>f</mml:mi> <mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mi>Θ</mml:mi> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:msub> <mml:mi>u</mml:mi> <mml:mrow> <mml:mi>xt</mml:mi> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo>,</mml:mo> </mml:mrow> </mml:mtd> </mml:mtr> </mml:mtable> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mtd> </mml:mtr> </mml:mtable> </mml:mrow> </mml:math> for thermoviscoelastic evolution in one-dimensional Kelvin–Voigt materials is considered. By means of an approach based on maximal Sobolev regularity theory of scalar parabolic equations, it is shown that if $$\gamma _0&gt;0$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mi>γ</mml:mi> <mml:mn>0</mml:mn> </mml:msub> <mml:mo>&gt;</mml:mo> <mml:mn>0</mml:mn> </mml:mrow> </mml:math> is fixed, then there exists $$\delta =\delta (\gamma _0)&gt;0$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mi>δ</mml:mi> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:mi>δ</mml:mi> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:msub> <mml:mi>γ</mml:mi> <mml:mn>0</mml:mn> </mml:msub> <mml:mo>)</mml:mo> <mml:mo>&gt;</mml:mo> <mml:mn>0</mml:mn>