Antimagic and Product Antimagic Graphs with Pendant Edges

Abstract Let $$G=(V,E)$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mi>G</mml:mi> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mi>V</mml:mi> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mi>E</mml:mi> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> </mml:math> be a simple graph of size m and L a set of m distinct real numbers. An L - labeling of G is a bijection $$\phi : E \rightarrow L$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mi>ϕ</mml:mi> <mml:mo>:</mml:mo> <mml:mi>E</mml:mi> <mml:mo>→</mml:mo> <mml:mi>L</mml:mi> </mml:mrow> </mml:math> . We say that $$\phi $$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mi>ϕ</mml:mi> </mml:math> is an antimagic L -labeling if the induced vertex sum $$\phi _+: V \rightarrow {\mathbb {R}}$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mi>ϕ</mml:mi> <mml:mo>+</mml:mo> </mml:msub> <mml:mo>:</mml:mo> <mml:mi>V</mml:mi> <mml:mo>→</mml:mo> <mml:mi>R</mml:mi> </mml:mrow> </mml:math> defined as $$\phi _+(u)=\sum _{uv\in E}\phi (uv)$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mi>ϕ</mml:mi> <mml:mo>+</mml:mo> </mml:msub> <mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mi>u</mml:mi> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:msub> <mml:mo>∑</mml:mo> <mml:mrow> <mml:mi>u</mml:mi> <mml:mi>v</mml:mi> <mml:mo>∈</mml:mo> <mml:mi>E</mml:mi> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mi>ϕ</mml:mi> <mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mi>u</mml:mi> <mml:mi>v</mml:mi> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> </mml:mrow> </mml:math> is injective. Similarly, $$\phi $$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mi>ϕ</mml:mi> </mml:math> is a product antimagic L-labeling of G if the induced vertex product $$\phi _{\circ }: V \rightarrow {\mathbb {R}}$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mi>ϕ</mml:mi> <mml:mo>∘</mml:mo> </mml:msub> <mml:mo>:</mml:mo> <mml:mi>V</mml:mi> <mml:mo>→</mml:mo> <mml:mi>R</mml:mi> </mml:mrow> </mml:math> defined as $$\phi _{\circ }(u)=\prod _{uv\in E}\phi (uv)$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mi>ϕ</mml:mi> <mml:mo>∘</mml:mo> </mml:msub> <mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mi>u</mml:mi> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:msub> <mml:mo>∏</mml:mo> <mml:mrow> <mml:mi>u</mml:mi> <mml:mi>v</mml:mi> <mml:mo>∈</mml:mo> <mml:mi>E</mml:mi> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mi>ϕ</mml:mi> <mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mi>u</mml:mi> <mml:mi>v</mml:mi> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> </mml:mrow> </mml:math> is injective. A graph G is antimagic (resp. product antimagic ) if it has an antimagic (resp. a product antimagic) L -labeling for $$L=\{1,2,\dots ,m\}$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mi>L</mml:mi> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:mo>{</mml:mo> <mml:mn>1</mml:mn> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mn>2</mml:mn> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mo>⋯</mml:mo> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mi>m</mml:mi> <mml:mo>}</mml:mo> </mml:mrow> </mml:math> . Hartsfield and Ringel conjectured that every simple connected graph distinct from <jats:i