A Remark on the Log-Sobolev Inequality for the Gibbs Measure of the Focusing Schrödinger Equation

Abstract We consider the question of showing a log-Sobolev inequality for the Gibbs measure of the focusing Schrödinger equation built by Lebowitz-Rose-Speer (1988), formally given by $$\begin{aligned} d\rho \propto \exp \big (\frac{1}{p}\int _{\mathbb T} |u|^p d x - \frac{1}{2}\int _{\mathbb T} |\nabla u|^2 d x - \frac{1}{2}\int _{\mathbb T} |u|^2 d x\big ) \mathbbm {1}_{\Vert u \Vert _{L^2(\mathbb T)}^2 \le K}dud\overline{u}. \end{aligned}$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mtable> <mml:mtr> <mml:mtd> <mml:mrow> <mml:mi>d</mml:mi> <mml:mi>ρ</mml:mi> <mml:mo>∝</mml:mo> <mml:mo>exp</mml:mo> <mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mfrac> <mml:mn>1</mml:mn> <mml:mi>p</mml:mi> </mml:mfrac> <mml:msub> <mml:mo>∫</mml:mo> <mml:mi>T</mml:mi> </mml:msub> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mo>|</mml:mo> <mml:mi>u</mml:mi> <mml:mo>|</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mi>p</mml:mi> </mml:msup> <mml:mi>d</mml:mi> <mml:mi>x</mml:mi> <mml:mo>-</mml:mo> <mml:mfrac> <mml:mn>1</mml:mn> <mml:mn>2</mml:mn> </mml:mfrac> <mml:msub> <mml:mo>∫</mml:mo> <mml:mi>T</mml:mi> </mml:msub> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mo>|</mml:mo> <mml:mi>∇</mml:mi> <mml:mi>u</mml:mi> <mml:mo>|</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mn>2</mml:mn> </mml:msup> <mml:mi>d</mml:mi> <mml:mi>x</mml:mi> <mml:mo>-</mml:mo> <mml:mfrac> <mml:mn>1</mml:mn> <mml:mn>2</mml:mn> </mml:mfrac> <mml:msub> <mml:mo>∫</mml:mo> <mml:mi>T</mml:mi> </mml:msub> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mo>|</mml:mo> <mml:mi>u</mml:mi> <mml:mo>|</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mn>2</mml:mn> </mml:msup> <mml:mi>d</mml:mi> <mml:mi>x</mml:mi> <mml:mrow> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:msub> <mml:mn>1</mml:mn> <mml:mrow> <mml:msubsup> <mml:mrow> <mml:mo>‖</mml:mo> <mml:mi>u</mml:mi> <mml:mo>‖</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:msup> <mml:mi>L</mml:mi> <mml:mn>2</mml:mn> </mml:msup> <mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mi>T</mml:mi> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> </mml:mrow> <mml:mn>2</mml:mn> </mml:msubsup> <mml:mo>≤</mml:mo> <mml:mi>K</mml:mi> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mi>d</mml:mi> <mml:mi>u</mml:mi> <mml:mi>d</mml:mi> <mml:mover> <mml:mi>u</mml:mi> <mml:mo>¯</mml:mo> </mml:mover> <mml:mo>.</mml:mo> </mml:mrow> </mml:mtd> </mml:mtr> </mml:mtable> </mml:mrow> </mml:math> When $$2 \le p \le 4$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mn>2</mml:mn> <mml:mo>≤</mml:mo> <mml:mi>p</mml:mi> <mml:mo>≤</mml:mo> <mml:mn>4</mml:mn> </mml:mrow> </mml:math> , we show that these measures indeed satisfy a log-Sobolev inequality. When $$p&gt; 4$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mi>p</mml:mi> <mml:mo>&gt;</mml:mo> <mml:mn>4</mml:mn> </mml:mrow> </mml:math> , we establish a lower bound for the Hessian of the effective potential. This implies that the known convexity-based multiscale techniques for the log-Sobolev inequalities cannot be applied to the measure $$\rho $$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mi>ρ</mml:mi> </mml:math> .