On Erdős’ last equation

For a positive integer <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="n greater-than-or-equal-to 2"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:mi>n</mml:mi> <mml:mo> ≥ </mml:mo> <mml:mn>2</mml:mn> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">n\ge 2</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> , we look at the number of solutions of the Diophantine equation <disp-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="n left-parenthesis x 1 plus midline-horizontal-ellipsis plus x Subscript n Baseline right-parenthesis equals x 1 midline-horizontal-ellipsis x Subscript n Baseline period"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:mi>n</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:msub> <mml:mi>x</mml:mi> <mml:mn>1</mml:mn> </mml:msub> <mml:mo>+</mml:mo> <mml:mo> ⋯ </mml:mo> <mml:mo>+</mml:mo> <mml:msub> <mml:mi>x</mml:mi> <mml:mi>n</mml:mi> </mml:msub> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:msub> <mml:mi>x</mml:mi> <mml:mn>1</mml:mn> </mml:msub> <mml:mo> ⋯ </mml:mo> <mml:msub> <mml:mi>x</mml:mi> <mml:mi>n</mml:mi> </mml:msub> <mml:mo>.</mml:mo> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">\begin{equation*} n(x_1+\cdots +x_n)=x_1\cdots x_n. \end{equation*}</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </disp-formula> Denoting by <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="f left-parenthesis n right-parenthesis"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:mi>f</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mi>n</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">f(n)</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> this number we show that <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="limit inf log f left-parenthesis n right-parenthesis slash log n equals 0"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:munder> <mml:mo movablelimits="true" form="prefix">lim inf</mml:mo> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mi>n</mml:mi> <mml:mo stretchy="false"> → </mml:mo> <mml:mi mathvariant="normal"> ∞ </mml:mi> </mml:mrow> </mml:munder> <mml:mi>log</mml:mi> <mml:mo> ⁡ </mml:mo> <mml:mi>f</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mi>n</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mo>/</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mi>log</mml:mi> <mml:mo> ⁡ </mml:mo> <mml:mi>n</mml:mi> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:mn>0</mml:mn> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">\liminf _{n\to \infty } \log f(n)/\log n=0</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> .