A refinement of Pawlowski’s result

Let <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="upper F left-parenthesis z right-parenthesis equals product Underscript k equals 1 Overscript n Endscripts left-parenthesis z minus z Subscript k Baseline right-parenthesis"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:mi>F</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mi>z</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:munderover> <mml:mo> ∏ </mml:mo> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mi>k</mml:mi> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:mn>1</mml:mn> </mml:mrow> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mi>n</mml:mi> </mml:mrow> </mml:munderover> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mi>z</mml:mi> <mml:mo> − </mml:mo> <mml:msub> <mml:mi>z</mml:mi> <mml:mi>k</mml:mi> </mml:msub> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">F(z) = \prod _{k=1}^{n}(z - z_k)</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> be a monic complex polynomial of degree <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="n"> <mml:semantics> <mml:mi>n</mml:mi> <mml:annotation encoding="application/x-tex">n</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> whose zeros satisfy <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="max Underscript 1 less-than-or-equal-to k less-than-or-equal-to n Endscripts StartAbsoluteValue z Subscript k Baseline EndAbsoluteValue less-than-or-equal-to 1"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:munder> <mml:mo form="prefix">max</mml:mo> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mn>1</mml:mn> <mml:mo> ≤ </mml:mo> <mml:mi>k</mml:mi> <mml:mo> ≤ </mml:mo> <mml:mi>n</mml:mi> </mml:mrow> </mml:munder> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mo stretchy="false">|</mml:mo> </mml:mrow> <mml:msub> <mml:mi>z</mml:mi> <mml:mi>k</mml:mi> </mml:msub> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mo stretchy="false">|</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mo> ≤ </mml:mo> <mml:mn>1</mml:mn> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">\max \limits _{1 \le k \le n} |z_k| \le 1</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> . Pawłowski [Trans. Amer. Math. Soc. 350 (1998), 4461–4472] considered the radius <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="gamma Subscript n"> <mml:semantics> <mml:msub> <mml:mi> γ </mml:mi> <mml:mi>n</mml:mi> </mml:msub> <mml:annotation encoding="application/x-tex">\gamma _n</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> of the smallest disk, centered at the centroid <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="StartFraction 1 Over n EndFraction sigma-summation Underscript k equals 1 Overscript n Endscripts z Subscript k"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:mfrac> <mml:mn>1</mml:mn> <mml:mi>n</mml:mi> </mml:mfrac> <mml:munderover> <mml:mo> ∑ </mml:mo> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mi>k</mml:mi> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:mn>1</mml:mn> </mml:mrow> <mml:mi>n</mml:mi> </mml:munderover> <mml:msub> <mml:mi>z</mml:mi> <mml:mi>k</mml:mi> </mml:msub> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">\frac {1}{n}\sum _{k=1}^n z_k</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> , containing at least one critical point of <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="upper F"> <mml:semantics> <mml:mi>F</mml:mi> <mml:annotation encoding="application/x-tex">F</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> , establishing the bound <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="gamma Subscript n Baseline less-than-or-equal-to StartFraction 2 n Superscript StartFraction 1 Over n minus 1 EndFraction Baseline Over n Superscript StartFraction 2 Over n minus 1 EndFraction Baseline plus 1 EndFraction"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mi> γ </mml:mi> <mml:mi>n</mml:mi> </mml:msub> <mml:mo> ≤ </mml:mo> <mml:mfrac> <mml:mrow> <mml:mn>2</mml:mn> <mml:mspace width="thinmathspace"/> <mml:msup> <mml:mi>n</mml:mi> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mfrac> <mml:mn>1</mml:mn> <mml:mrow> <mml:mi>n</mml:mi> <mml:mo> − </mml:mo> <mml:mn>1</mml:mn> </mml:mrow> </mml:mfrac> </mml:mrow> </mml:msup> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:msup> <mml:mi>n</mml:mi> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mfrac> <mml:mn>2</mml:mn> <mml:mrow> <mml:mi