On New Properties of the Drazin-Star and the Star-Drazin Inverses

Abstract The aim of this work is to study new properties of the Drazin-Star and the Star-Drazin inverses of a bounded finite potent operator on a Hilbert space. Given a bounded finite potent operator $$\varphi \in \operatorname {End}_k (\mathcal H)$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mi>φ</mml:mi> <mml:mo>∈</mml:mo> <mml:msub> <mml:mo>End</mml:mo> <mml:mi>k</mml:mi> </mml:msub> <mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mi>H</mml:mi> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> </mml:mrow> </mml:math> , we prove that the pseudo-characteristic polynomials of $$\varphi ^{D,*}$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mmultiscripts> <mml:mi>φ</mml:mi> <mml:mrow/> <mml:mrow> <mml:mi>D</mml:mi> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mrow/> <mml:mo>∗</mml:mo> </mml:mrow> </mml:mmultiscripts> </mml:math> and $$\varphi ^{*,D}$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mmultiscripts> <mml:mi>φ</mml:mi> <mml:mrow/> <mml:mrow> <mml:mrow/> <mml:mo>∗</mml:mo> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mi>D</mml:mi> </mml:mrow> </mml:mmultiscripts> </mml:math> coincide. Accordingly, we obtain that $$\sigma (\varphi ^{D,*}) = \sigma (\varphi ^{*,D})$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mi>σ</mml:mi> <mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mmultiscripts> <mml:mi>φ</mml:mi> <mml:mrow/> <mml:mrow> <mml:mi>D</mml:mi> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mrow/> <mml:mo>∗</mml:mo> </mml:mrow> </mml:mmultiscripts> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:mi>σ</mml:mi> <mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mmultiscripts> <mml:mi>φ</mml:mi> <mml:mrow/> <mml:mrow> <mml:mrow/> <mml:mo>∗</mml:mo> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mi>D</mml:mi> </mml:mrow> </mml:mmultiscripts> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> </mml:mrow> </mml:math> , $$\operatorname {Tr}_\mathcal {H} (\varphi ^{D,*}) = \operatorname {Tr}_\mathcal {H} (\varphi ^{*,D})$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mo>Tr</mml:mo> <mml:mi>H</mml:mi> </mml:msub> <mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mmultiscripts> <mml:mi>φ</mml:mi> <mml:mrow/> <mml:mrow> <mml:mi>D</mml:mi> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mrow/> <mml:mo>∗</mml:mo> </mml:mrow> </mml:mmultiscripts> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:msub> <mml:mo>Tr</mml:mo> <mml:mi>H</mml:mi> </mml:msub> <mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mmultiscripts> <mml:mi>φ</mml:mi> <mml:mrow/> <mml:mrow> <mml:mrow/> <mml:mo>∗</mml:mo> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mi>D</mml:mi> </mml:mrow> </mml:mmultiscripts> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> </mml:mrow> </mml:math> and $$\operatorname {det}_\mathcal {H} (\text {Id} + \varphi ^{D,*}) = \operatorname {det}_\mathcal {H} (\text {Id} + \varphi ^{*,D})$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mo>det</mml:mo> <mml:mi>H</mml:mi> </mml:msub> <mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mtext>Id</mml:mtext> <mml:mo>+</mml:mo> <mml:mmultiscripts> <mml:mi>φ</mml:mi> <mml:mrow/> <mml:mrow> <mml:mi>D</mml:mi> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mrow/> <mml:mo>∗</mml:mo> </mml:mrow> </mml:mmultiscripts> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:msub> <mml:mo>det</mml:mo> <mml:mi>H</mml:mi> </mml:msub> <mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mtext>Id</mml:mtext> <mml:mo>+</mml:mo> <mml:mmultiscripts> <mml:mi>φ</mml:mi> <mml:mrow/> <mml:mrow> <mml:mrow/> <mml:mo>∗</mml:mo> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mi>D</mml:mi> </mml:mrow> </mml:mmultiscripts> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> </mml:mrow> </mml:math> . In particular, these results hold for a finite square complex matrix A . Moreover, we offer the explicit characterization of the AST-decompositions of