COMPLETENESS THEOREMS IN THE UNIFORM NORM FOR A PARABOLIC EQUATION

Abstract Let $$\{v_{\alpha }\}$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mo>{</mml:mo> <mml:msub> <mml:mi>v</mml:mi> <mml:mi>α</mml:mi> </mml:msub> <mml:mo>}</mml:mo> </mml:mrow> </mml:math> be a system of polynomial solutions of the parabolic equation $$a_{hk}\partial _{x_{h}x_{k}}u - \partial _t u =0$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mi>a</mml:mi> <mml:mrow> <mml:mi>hk</mml:mi> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:msub> <mml:mi>∂</mml:mi> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mi>x</mml:mi> <mml:mi>h</mml:mi> </mml:msub> <mml:msub> <mml:mi>x</mml:mi> <mml:mi>k</mml:mi> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mi>u</mml:mi> <mml:mo>-</mml:mo> <mml:msub> <mml:mi>∂</mml:mi> <mml:mi>t</mml:mi> </mml:msub> <mml:mi>u</mml:mi> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:mn>0</mml:mn> </mml:mrow> </mml:math> in a bounded $$C^1$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:msup> <mml:mi>C</mml:mi> <mml:mn>1</mml:mn> </mml:msup> </mml:math> -cylinder $$\Omega _{T}$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:msub> <mml:mi>Ω</mml:mi> <mml:mi>T</mml:mi> </mml:msub> </mml:math> contained in $$\mathbb {R}^{n+1}$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi>R</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi>n</mml:mi> <mml:mo>+</mml:mo> <mml:mn>1</mml:mn> </mml:mrow> </mml:msup> </mml:math> . Here, $$a_{hk}\partial _{x_{h}x_{k}}$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mi>a</mml:mi> <mml:mrow> <mml:mi>hk</mml:mi> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:msub> <mml:mi>∂</mml:mi> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mi>x</mml:mi> <mml:mi>h</mml:mi> </mml:msub> <mml:msub> <mml:mi>x</mml:mi> <mml:mi>k</mml:mi> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:math> is an elliptic operator with real constant coefficients. We prove that $$\{v_{\alpha }\}$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mo>{</mml:mo> <mml:msub> <mml:mi>v</mml:mi> <mml:mi>α</mml:mi> </mml:msub> <mml:mo>}</mml:mo> </mml:mrow> </mml:math> is complete in $$C^{0}(\Sigma ')$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:msup> <mml:mi>C</mml:mi> <mml:mn>0</mml:mn> </mml:msup> <mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:msup> <mml:mi>Σ</mml:mi> <mml:mo>′</mml:mo> </mml:msup> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> </mml:mrow> </mml:math> , where $$\Sigma '$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:msup> <mml:mi>Σ</mml:mi> <mml:mo>′</mml:mo> </mml:msup> </mml:math> is the parabolic boundary of $$\Omega _{T}$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:msub> <mml:mi>Ω</mml:mi> <mml:mi>T</mml:mi> </mml:msub> </mml:math> . Similar results are proved for the adjoint equation $$a_{hk}\partial _{x_{h}x_{k}} u+ \partial _t u =0$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mi>a</mml:mi> <mml:mrow> <mml:mi>hk</mml:mi> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:msub> <mml:mi>∂</mml:mi> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mi>x</mml:mi> <mml:mi>h</mml:mi> </mml:msub> <mml:msub> <mml:mi>x</mml:mi> <mml:mi>k</mml:mi> </mml:msub>