On the number of monochromatic solutions to multiplicative equations

Abstract The following question was asked by Prendiville: given an r -colouring of the interval $$\{2, \dotsc , N\}$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mo>{</mml:mo> <mml:mn>2</mml:mn> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mo>⋯</mml:mo> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mi>N</mml:mi> <mml:mo>}</mml:mo> </mml:mrow> </mml:math> , what is the minimum number of monochromatic solutions of the equation $$xy = z$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mi>x</mml:mi> <mml:mi>y</mml:mi> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:mi>z</mml:mi> </mml:mrow> </mml:math> ? For $$r=2$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mi>r</mml:mi> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:mn>2</mml:mn> </mml:mrow> </mml:math> , we show that there are always asymptotically at least $$(1/2\sqrt{2}) N^{1/2} \log N$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mn>1</mml:mn> <mml:mo>/</mml:mo> <mml:mn>2</mml:mn> <mml:msqrt> <mml:mn>2</mml:mn> </mml:msqrt> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:msup> <mml:mi>N</mml:mi> <mml:mrow> <mml:mn>1</mml:mn> <mml:mo>/</mml:mo> <mml:mn>2</mml:mn> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:mo>log</mml:mo> <mml:mi>N</mml:mi> </mml:mrow> </mml:math> monochromatic solutions, and that the leading constant is sharp. For $$r=3$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mi>r</mml:mi> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:mn>3</mml:mn> </mml:mrow> </mml:math> and $$r=4$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mi>r</mml:mi> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:mn>4</mml:mn> </mml:mrow> </mml:math> we obtain tight results up to a multiplicative logarithmic factor. We also provide bounds for more colours and other multiplicative equations.