Luxemburg norm localisation for nonlocal differential equations in variable-exponent Lebesgue spaces

Abstract We investigate a class of variable growth nonlocal differential equations of Kirchhoff-type having the general form $$\begin{aligned} -A\!\left( \int _0^1 b(1-s)\big (u(s)\big )^{p(s)}\,ds\right) u''(t) = \lambda f\big (t,u(t)\big ), \quad t\in (0,1), \end{aligned}$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mtable> <mml:mtr> <mml:mtd> <mml:mrow> <mml:mo>-</mml:mo> <mml:mi>A</mml:mi> <mml:mspace/> <mml:mfenced> <mml:msubsup> <mml:mo>∫</mml:mo> <mml:mn>0</mml:mn> <mml:mn>1</mml:mn> </mml:msubsup> <mml:mi>b</mml:mi> <mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mn>1</mml:mn> <mml:mo>-</mml:mo> <mml:mi>s</mml:mi> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mi>u</mml:mi> <mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mi>s</mml:mi> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi>p</mml:mi> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mi>s</mml:mi> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:mspace/> <mml:mi>d</mml:mi> <mml:mi>s</mml:mi> </mml:mfenced> <mml:msup> <mml:mi>u</mml:mi> <mml:mrow> <mml:mo>′</mml:mo> <mml:mo>′</mml:mo> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mi>t</mml:mi> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:mi>λ</mml:mi> <mml:mi>f</mml:mi> <mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mi>t</mml:mi> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mi>u</mml:mi> <mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mi>t</mml:mi> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mspace/> <mml:mi>t</mml:mi> <mml:mo>∈</mml:mo> <mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mn>0</mml:mn> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mn>1</mml:mn> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mo>,</mml:mo> </mml:mrow> </mml:mtd> </mml:mtr> </mml:mtable> </mml:mrow> </mml:math> where A is a possibly sign-changing function. Our analysis is carried out in the variable-exponent Lebesgue space $$L^{p(\cdot )}([0,1])$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:msup> <mml:mi>L</mml:mi> <mml:mrow> <mml:mi>p</mml:mi> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mo>·</mml:mo> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mrow> <mml:mo>[</mml:mo> <mml:mn>0</mml:mn> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mn>1</mml:mn> <mml:mo>]</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> </mml:mrow> </mml:math> under the standing hypothesis $$p(t)&gt;1$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mi>p</mml:mi> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mi>t</mml:mi> <mml:mo>)</mml:mo> <mml:mo>&gt;</mml:mo> <mml:mn>1</mml:mn> </mml:mrow> </mml:math> . We demonstrate that using the Luxemburg norm allows for a sharper localisation of the solution to the nonlocal problem. Moreover, conditions imposed on both $$\lambda $$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mi>λ</mml:mi> </mml:math> and f are appreciably weakened by analysing the problem within the Luxemburg norm framework. An example explicitly demonstrates both the qualitative and the quantitative advantages over earlier techniques.