On the best constants in Khintchine type inequalities for martingales

For discrete martingale-difference sequences <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="d equals StartSet d 1 comma ellipsis comma d Subscript n Baseline EndSet"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:mi>d</mml:mi> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:mo fence="false" stretchy="false">{</mml:mo> <mml:msub> <mml:mi>d</mml:mi> <mml:mn>1</mml:mn> </mml:msub> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mo> … </mml:mo> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:msub> <mml:mi>d</mml:mi> <mml:mi>n</mml:mi> </mml:msub> <mml:mo fence="false" stretchy="false">}</mml:mo> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">d=\{d_1,\ldots ,d_n\}</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> we consider Khintchine type inequalities, involving certain square function <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="German upper S left-parenthesis d right-parenthesis"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mi mathvariant="fraktur">S</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mi>d</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">\mathfrak S(d)</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> introduced by Chang-Wilson-Wolff [Comment. Math. Helv. 60 (1985), pp. 217–246]. In particular, we prove <disp-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="double-vertical-bar sigma-summation Underscript k equals 1 Overscript n Endscripts d Subscript k Baseline double-vertical-bar Subscript p Baseline less-than-or-equal-to 2 Superscript 1 slash 2 Baseline left-parenthesis normal upper Gamma left-parenthesis left-parenthesis p plus 1 right-parenthesis slash 2 right-parenthesis right-parenthesis slash StartRoot pi EndRoot right-parenthesis Superscript 1 slash p Baseline double-vertical-bar German upper S left-parenthesis d right-parenthesis double-vertical-bar Subscript normal infinity Baseline comma p greater-than-or-equal-to 3 comma"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mo symmetric="true">‖</mml:mo> <mml:munderover> <mml:mo> ∑ </mml:mo> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mi>k</mml:mi> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:mn>1</mml:mn> </mml:mrow> <mml:mi>n</mml:mi> </mml:munderover> <mml:msub> <mml:mi>d</mml:mi> <mml:mi>k</mml:mi> </mml:msub> <mml:mo symmetric="true">‖</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mi>p</mml:mi> </mml:msub> <mml:mo> ≤ </mml:mo> <mml:msup> <mml:mn>2</mml:mn> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mn>1</mml:mn> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mo>/</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mn>2</mml:mn> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:mstyle scriptlevel="0"> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mo maxsize="1.2em" minsize="1.2em">(</mml:mo> </mml:mrow> </mml:mstyle> <mml:mi mathvariant="normal"> Γ </mml:mi> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mi>p</mml:mi> <mml:mo>+</mml:mo> <mml:mn>1</mml:mn> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mo>/</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mn>2</mml:mn> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mo>/</mml:mo> </mml:mrow> <mml:msqrt> <mml:mi> π </mml:mi> </mml:msqrt> <mml:msup> <mml:mstyle scriptlevel="0"> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mo maxsize="1.2em" minsize="1.2em">)</mml:mo> </mml:mrow> </mml:mstyle> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mn>1</mml:mn> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mo>/</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mi>p</mml:mi> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:mo fence="false" stretchy="false"> ‖ </mml:mo> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mi mathvariant="fraktur">S</mml:mi> </mml:mrow> </mml:mrow> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mi>d</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> <mml:msub> <mml:mo fence="false" stretchy="false"> ‖ </mml:mo> <mml:mi mathvariant="normal"> ∞ </mml:mi> </mml:msub> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mspace width="1em"/> <mml:mi>p</mml:mi> <mml:mo> ≥ </mml:mo> <mml:mn>3</mml:mn> <mml:mo>,</mml:mo> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">\begin{equation*} \left \|\sum _{k=1}^nd_k\right \|_p\le 2^{1/2}\big (\Gamma ((p+1)/2))/\sqrt {\pi }\big )^{1/p}\|{\mathfrak S}(d)\|_\infty ,\quad p\ge 3, \end{equation*}</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </disp-formula> where the constant on the right hand side is optimal and matches the one known for Rademacher sums <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="sigma-summation Underscript k equals 1 Overscript n Endscripts a Subscript k Baseline r Subscript k"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:munderover> <mml:mo> ∑ </mml:mo> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mi>k</mml:mi>