The local converse theorem for $$\widetilde{{\textrm{Sp}}}_{2n}$$

Abstract In this paper, we establish the local converse theorem and the stability of local gamma factors for $$\widetilde{\textrm{Sp}}_{2n}$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:msub> <mml:mover> <mml:mtext>Sp</mml:mtext> <mml:mo>~</mml:mo> </mml:mover> <mml:mrow> <mml:mn>2</mml:mn> <mml:mi>n</mml:mi> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:math> via the precise local theta correspondence between $$\widetilde{\textrm{Sp}}_{2n}$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:msub> <mml:mover> <mml:mtext>Sp</mml:mtext> <mml:mo>~</mml:mo> </mml:mover> <mml:mrow> <mml:mn>2</mml:mn> <mml:mi>n</mml:mi> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:math> and $$\textrm{SO}_{2n+1}$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:msub> <mml:mtext>SO</mml:mtext> <mml:mrow> <mml:mn>2</mml:mn> <mml:mi>n</mml:mi> <mml:mo>+</mml:mo> <mml:mn>1</mml:mn> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:math> over local fields of characteristic not equal to 2. We also prove the rigidity theorem for irreducible generic cuspidal automorphic representations of $$\widetilde{\textrm{Sp}}_{2n}$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:msub> <mml:mover> <mml:mtext>Sp</mml:mtext> <mml:mo>~</mml:mo> </mml:mover> <mml:mrow> <mml:mn>2</mml:mn> <mml:mi>n</mml:mi> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:math> over number fields.