Construction of simple quotients of Bernstein-Zelevinsky derivatives and highest derivative multisegments II: minimal sequences

Abstract Let F be a non-Archimedean local field. For any irreducible smooth representation $$\pi $$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mi>π</mml:mi> </mml:math> of $$\textrm{GL}_n(F)$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mtext>GL</mml:mtext> <mml:mi>n</mml:mi> </mml:msub> <mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mi>F</mml:mi> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> </mml:mrow> </mml:math> and a multisegment $${\mathfrak {m}}$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mi>m</mml:mi> </mml:math> , we have an operation $$D_{{\mathfrak {m}}}(\pi )$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mi>D</mml:mi> <mml:mi>m</mml:mi> </mml:msub> <mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mi>π</mml:mi> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> </mml:mrow> </mml:math> to construct a simple quotient $$\tau $$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mi>τ</mml:mi> </mml:math> of a Bernstein-Zelevinsky derivative of $$\pi $$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mi>π</mml:mi> </mml:math> . This article continues the previous one to study the following poset $$\begin{aligned} {\mathcal {S}}(\pi , \tau ) {:}{=}\left\{ {\mathfrak {n}} : D_{{\mathfrak {n}}}(\pi )\cong \tau \right\} , \end{aligned}$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mtable> <mml:mtr> <mml:mtd> <mml:mrow> <mml:mi>S</mml:mi> <mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mi>π</mml:mi> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mi>τ</mml:mi> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mo>:</mml:mo> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:mfenced> <mml:mi>n</mml:mi> <mml:mo>:</mml:mo> <mml:msub> <mml:mi>D</mml:mi> <mml:mi>n</mml:mi> </mml:msub> <mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mi>π</mml:mi> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mo>≅</mml:mo> <mml:mi>τ</mml:mi> </mml:mfenced> <mml:mo>,</mml:mo> </mml:mrow> </mml:mtd> </mml:mtr> </mml:mtable> </mml:mrow> </mml:math> where $${\mathfrak {n}}$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mi>n</mml:mi> </mml:math> runs for all the multisegments. Here the partial ordering on $${\mathcal {S}}(\pi , \tau )$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mi>S</mml:mi> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mi>π</mml:mi> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mi>τ</mml:mi> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> </mml:math> comes from the Zelevinsky ordering. We show that the poset has a unique minimal multisegment. Along the way, we introduce two new ingredients: fine chain orderings and local minimizability.