A metric counterpart of the Gu–Yung formula

Abstract In this note we consider a generalisation to the metric setting of the recent work (Gu and Yung in J Funct Anal 281:109075, 2021). In particular, we show that under relatively weak conditions on a metric measure space $$(X,d,\nu )$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mi>X</mml:mi> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mi>d</mml:mi> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mi>ν</mml:mi> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> </mml:math> , it holds true that $$ \bigg [ \frac{u(x)-u(y)}{d(x,y)^{\frac{s}{p}}} \bigg ]_{L^p_w(X \times X, \nu \otimes \nu )} \approx \Vert u \Vert _{L^p(X,\nu )}, $$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mo>[</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mfrac> <mml:mrow> <mml:mi>u</mml:mi> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mi>x</mml:mi> <mml:mo>)</mml:mo> <mml:mo>-</mml:mo> <mml:mi>u</mml:mi> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mi>y</mml:mi> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi>d</mml:mi> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mi>x</mml:mi> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mi>y</mml:mi> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mfrac> <mml:mi>s</mml:mi> <mml:mi>p</mml:mi> </mml:mfrac> </mml:msup> </mml:mrow> </mml:mfrac> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mo>]</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:msubsup> <mml:mi>L</mml:mi> <mml:mi>w</mml:mi> <mml:mi>p</mml:mi> </mml:msubsup> <mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mi>X</mml:mi> <mml:mo>×</mml:mo> <mml:mi>X</mml:mi> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mi>ν</mml:mi> <mml:mo>⊗</mml:mo> <mml:mi>ν</mml:mi> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo>≈</mml:mo> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mo>‖</mml:mo> <mml:mi>u</mml:mi> <mml:mo>‖</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:msup> <mml:mi>L</mml:mi> <mml:mi>p</mml:mi> </mml:msup> <mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mi>X</mml:mi> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mi>ν</mml:mi> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo>,</mml:mo> </mml:mrow> </mml:math> where s is a generalised dimension associated to X and $$[\cdot ]_{L^p_w}$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mo>[</mml:mo> <mml:mo>·</mml:mo> <mml:mo>]</mml:mo> </mml:mrow> <mml:msubsup> <mml:mi>L</mml:mi> <mml:mi>w</mml:mi> <mml:mi>p</mml:mi> </mml:msubsup> </mml:msub> </mml:math> is the weak Lebesgue norm. We provide some counterexamples which show that our assumptions are optimal.