A New Construction for Melnikov Chaos in Piecewise-Smooth Planar Systems

Abstract We consider a piecewise-smooth 2-dimensional system $$\begin{aligned} \dot{\vec {x}}=\vec {f}(\vec {x})+\varepsilon \vec {g}(t,\vec {x},\varepsilon ) \end{aligned}$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mtable> <mml:mtr> <mml:mtd> <mml:mrow> <mml:mover> <mml:mover> <mml:mi>x</mml:mi> <mml:mo>→</mml:mo> </mml:mover> <mml:mo>˙</mml:mo> </mml:mover> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:mover> <mml:mi>f</mml:mi> <mml:mo>→</mml:mo> </mml:mover> <mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mover> <mml:mi>x</mml:mi> <mml:mo>→</mml:mo> </mml:mover> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mo>+</mml:mo> <mml:mi>ε</mml:mi> <mml:mover> <mml:mi>g</mml:mi> <mml:mo>→</mml:mo> </mml:mover> <mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mi>t</mml:mi> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mover> <mml:mi>x</mml:mi> <mml:mo>→</mml:mo> </mml:mover> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mi>ε</mml:mi> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> </mml:mrow> </mml:mtd> </mml:mtr> </mml:mtable> </mml:mrow> </mml:math> where $$\varepsilon &gt;0$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mi>ε</mml:mi> <mml:mo>&gt;</mml:mo> <mml:mn>0</mml:mn> </mml:mrow> </mml:math> is a small parameter and $$\vec {f}$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mover> <mml:mi>f</mml:mi> <mml:mo>→</mml:mo> </mml:mover> </mml:math> is discontinuous along a curve $$\Omega ^0$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:msup> <mml:mi>Ω</mml:mi> <mml:mn>0</mml:mn> </mml:msup> </mml:math> . We assume that $$\vec {0}$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mover> <mml:mn>0</mml:mn> <mml:mo>→</mml:mo> </mml:mover> </mml:math> is a critical point for any $$\varepsilon \ge 0$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mi>ε</mml:mi> <mml:mo>≥</mml:mo> <mml:mn>0</mml:mn> </mml:mrow> </mml:math> , and that for $$\varepsilon =0$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mi>ε</mml:mi> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:mn>0</mml:mn> </mml:mrow> </mml:math> the system admits a trajectory $$\vec {\gamma }(t)$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mover> <mml:mi>γ</mml:mi> <mml:mo>→</mml:mo> </mml:mover> <mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mi>t</mml:mi> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> </mml:mrow> </mml:math> homoclinic to $$\vec {0}$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mover> <mml:mn>0</mml:mn> <mml:mo>→</mml:mo> </mml:mover> </mml:math> and crossing transversely $$\Omega ^0$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:msup> <mml:mi>Ω</mml:mi> <mml:mn>0</mml:mn> </mml:msup> </mml:math> in $$\vec {\gamma }(0)$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mover> <mml:mi>γ</mml:mi> <mml:mo>→</mml:mo> </mml:mover> <mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mn>0</mml:mn> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> </mml:mrow> </mml:math> . In a previous paper, we have shown that, also in an n -dimensional setting, the classical Melnikov condition is enough to guarantee the persistence of the homoclinic orbit to perturbations, but more recently we have found an open condition, a geometric obstruction which is not possible in the smooth case, which prevents chaos for 2-dimensional systems when