Simplicial cell decompositions of $$\mathbb{C}\mathbb{P}^{\hspace{.3mm}n}$$

Abstract According to a well-known result in geometric topology, we have $$\left( \mathbb {S}^2 \right) ^{n}\!\!/\operatorname {Sym}(n) = \mathbb{C}\mathbb{P}^{n}$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:msup> <mml:mfenced> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi>S</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mn>2</mml:mn> </mml:msup> </mml:mfenced> <mml:mi>n</mml:mi> </mml:msup> <mml:mspace/> <mml:mspace/> <mml:mo>/</mml:mo> <mml:mo>Sym</mml:mo> <mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mi>n</mml:mi> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:mi>C</mml:mi> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi>P</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mi>n</mml:mi> </mml:msup> </mml:mrow> </mml:math> , where $$\operatorname {Sym}(n)$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mo>Sym</mml:mo> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mi>n</mml:mi> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> </mml:math> acts on $$\left( \mathbb {S}^2 \right) ^{n}$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:msup> <mml:mfenced> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi>S</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mn>2</mml:mn> </mml:msup> </mml:mfenced> <mml:mi>n</mml:mi> </mml:msup> </mml:math> by coordinate permutation. We use this fact to explicitly construct a regular simplicial cell decomposition of $$\mathbb{C}\mathbb{P}^{n}$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mi>C</mml:mi> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi>P</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mi>n</mml:mi> </mml:msup> </mml:mrow> </mml:math> for each $$n \ge 2$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mi>n</mml:mi> <mml:mo>≥</mml:mo> <mml:mn>2</mml:mn> </mml:mrow> </mml:math> . In more detail, we start with the standard two triangle crystallisation $$S^2_3$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:msubsup> <mml:mi>S</mml:mi> <mml:mn>3</mml:mn> <mml:mn>2</mml:mn> </mml:msubsup> </mml:math> of the 2-sphere $$\mathbb {S}^2$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi>S</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mn>2</mml:mn> </mml:msup> </mml:math> , in its n -fold Cartesian product. We then construct a simplicial subdivision of this product and prove that the $$\operatorname {Sym}(n)$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mo>Sym</mml:mo> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mi>n</mml:mi> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> </mml:math> quotient of this subdivision yields a simplicial cell decomposition of $$\mathbb{C}\mathbb{P}^n$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mi>C</mml:mi> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi>P</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mi>n</mml:mi> </mml:msup> </mml:mrow> </mml:math> . The first derived subdivision of this cell complex is a simplicial triangulation of $$\mathbb{C}\mathbb{P}^n$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mi>C</mml:mi> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi>P</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mi>n</mml:mi> </mml:msup> </mml:mrow> </mml:math> . To the best of our knowledge, this is the first explicit description of triangulations of $$\mathbb{C}\mathbb{P}^n$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mi>C</mml:mi> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi>P</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mi>n</mml:mi> </mml:msup> </mml:mrow> </mml:math> for $$n \ge 4.$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow>