Qualitative properties of single blow-up solutions for nonlinear Hartree equation with slightly subcritical exponent

Abstract In this paper, we study the qualitative properties of single blow-up solutions to the nonlocal equations with slightly subcritical exponents $$\begin{aligned} -\Delta u=(|x|^{-(n-2)}*u^{p-\varepsilon })u^{p-1-\varepsilon }\quad \text{ in }~~\Omega ,~~ u=0\quad \text{ on }~~\partial \Omega , \end{aligned}$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mtable> <mml:mtr> <mml:mtd> <mml:mrow> <mml:mo>-</mml:mo> <mml:mi>Δ</mml:mi> <mml:mi>u</mml:mi> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mo>|</mml:mo> <mml:mi>x</mml:mi> <mml:mo>|</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mo>-</mml:mo> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mi>n</mml:mi> <mml:mo>-</mml:mo> <mml:mn>2</mml:mn> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:mrow/> <mml:mo>∗</mml:mo> <mml:msup> <mml:mi>u</mml:mi> <mml:mrow> <mml:mi>p</mml:mi> <mml:mo>-</mml:mo> <mml:mi>ε</mml:mi> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:mrow> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:msup> <mml:mi>u</mml:mi> <mml:mrow> <mml:mi>p</mml:mi> <mml:mo>-</mml:mo> <mml:mn>1</mml:mn> <mml:mo>-</mml:mo> <mml:mi>ε</mml:mi> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:mspace/> <mml:mspace/> <mml:mtext>in</mml:mtext> <mml:mspace/> <mml:mspace/> <mml:mspace/> <mml:mi>Ω</mml:mi> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mspace/> <mml:mspace/> <mml:mi>u</mml:mi> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:mn>0</mml:mn> <mml:mspace/> <mml:mspace/> <mml:mtext>on</mml:mtext> <mml:mspace/> <mml:mspace/> <mml:mspace/> <mml:mi>∂</mml:mi> <mml:mi>Ω</mml:mi> <mml:mo>,</mml:mo> </mml:mrow> </mml:mtd> </mml:mtr> </mml:mtable> </mml:mrow> </mml:math> where $$\Omega $$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mi>Ω</mml:mi> </mml:math> is a smooth bounded domain in $$\mathbb {R}^n$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi>R</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mi>n</mml:mi> </mml:msup> </mml:math> for $$n=3,4,5$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mi>n</mml:mi> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:mn>3</mml:mn> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mn>4</mml:mn> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mn>5</mml:mn> </mml:mrow> </mml:math> , $$*$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mrow/> <mml:mo>∗</mml:mo> </mml:mrow> </mml:math> denotes the standard convolution, $$\varepsilon &gt;0$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mi>ε</mml:mi> <mml:mo>&gt;</mml:mo> <mml:mn>0</mml:mn> </mml:mrow> </mml:math> is a small parameter and $$p=\frac{n+2}{n-2}$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mi>p</mml:mi> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:mfrac> <mml:mrow> <mml:mi>n</mml:mi> <mml:mo>+</mml:mo> <mml:mn>2</mml:mn> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi>n</mml:mi> <mml:mo>-</mml:mo> <mml:mn>2</mml:mn> </mml:mrow> </mml:mfrac> </mml:mrow> </mml:math> is $$\mathcal {D}^{1,2}$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi>D</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn>1</mml:mn> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mn>2</mml:mn> </mml:mrow> </mml:msup> </mml:math> energy-critical exponent. By exploiting various local Pohozaev identities and blow-up analysis, we provide a number of estimates on the first $$(n+2)$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.