Stochastic and combinatorial geometry

Cette thèse s’inscrit dans le domaine de la géométrie stochastique, dont l’objectif est de comprendre les propriétés statistiques des modèles géométriques aléatoires. En général, l’alea porte sur la position dans Rd des objets usuels de la géométrie euclidienne, tels qu’un point, une droite, ou un polygone. Les questions portent cependant sur des objets de plus haut niveau, comme les lois des cellules de Voronoi, des propriétés d’intersections, de percolation... Dans la plupart de nos travaux, pour un domaine convexe K Ă Rd, nous tirons uniformément et indépendamment n points dans K, et regardons l’enveloppe convexe de ces points soit pris ensemble dans K, soit pris avec une portion de la frontière de K. Dans le premier chapitre de cette thèse, K est un triangle et nous prenons l’enveloppe convexe de n `m points avec deux sommets de K. Lorsque nous conditionnons par un nombre n de points sur la frontière, nous montrons que si m est linéaire ou sous-linéaire en n, la forme limite de la frontière de l’enveloppe convexe est un morceau d’hyperbole ou une parabole. Nous donnons également l’asymptotique de la probabilité de tels événements. Dans les chapitres 2 et 3, nous tirons n points uniformément dans un polygone convexe K (d’abord pour un polygone régulier, puis pour un polygone convexe général), et étudions la probabilité que ces n points soient en position convexe. Nous donnons un équivalent de cette probabilité, et explicitons la loi d’un tel n-gone convexe, ainsi que ses fluctuations autour de sa limite déterministe. Nous avons également traité un modèle plus large en toutes dimensions dans le chapitre 4, qui consiste à tirer des points au dessus d’une base plate F et sous une forme concave, puis à regarder la probabilité que les points soient en position convexe avec F. Nous avons ainsi mené une étude approfondie de ce modèle, entre optimisations de forme et calculs de bornes supérieure et inférieure pour cette probabilité dans certains cas de figure. Dans le chapitre 5, un peu différent des autres, nous étudions un modèle de polytopes convexes aléatoires en haute dimension. En nous basant sur le théorème de Gauss-Minkowski, qui établit la correspondance entre mesures de probabilité centrées sur la sphère et corps convexes, nous présentons deux algorithmes pour reconstruire, étant donné des vecteurs de somme nulle, le polytope dont la normale de chaque face est un de ces vecteurs et dont l’aire de la face est la norme du vecteur.