Une note inédite de Lagrange « sur la géométrie des indivisibles » et le « trésor » de Cavalieri

La Bibliothèque de l’Institut de France conserve quatre pages manuscrites de Lagrange au sujet de la « géométrie des indivisibles ». Elles témoignent de sa quête pour comprendre, plus d’un siècle après Cavalieri, comment celui-ci a obtenu et tenté de démontrer l’égalité que nous écririons de nos jours <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:msubsup> <mml:mo>∫</mml:mo> <mml:mn>0</mml:mn> <mml:mi>a</mml:mi> </mml:msubsup> <mml:msup> <mml:mi>x</mml:mi> <mml:mi>m</mml:mi> </mml:msup> <mml:mspace width="0.166667em"/> <mml:mi mathvariant="normal">d</mml:mi> <mml:mi>x</mml:mi> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:mfrac> <mml:msup> <mml:mi>a</mml:mi> <mml:mrow> <mml:mi>m</mml:mi> <mml:mo>+</mml:mo> <mml:mn>1</mml:mn> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi>m</mml:mi> <mml:mo>+</mml:mo> <mml:mn>1</mml:mn> </mml:mrow> </mml:mfrac> </mml:mrow> </mml:math> . Suivant l’approche originale du jésuate de Bologne, Lagrange parvient à trouver la voie à suivre pour obtenir une preuve complète. Dans cet article, nous présentons la démarche de Cavalieri et reconstruisons le contexte historique utile pour la compréhension de la note de Lagrange avant de présenter sa démonstration. Nous terminons par quelques applications du résultat données jadis par Cavalieri.