On the class number of pairs of binary quadratic forms

If <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mi>d</mml:mi> <mml:mn>1</mml:mn> </mml:msub> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:msub> <mml:mi>d</mml:mi> <mml:mn>2</mml:mn> </mml:msub> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mi>t</mml:mi> <mml:mo>∈</mml:mo> <mml:mi>ℤ</mml:mi> </mml:mrow> </mml:math> , let <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mi>h</mml:mi> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:msub> <mml:mi>d</mml:mi> <mml:mn>1</mml:mn> </mml:msub> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:msub> <mml:mi>d</mml:mi> <mml:mn>2</mml:mn> </mml:msub> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mi>t</mml:mi> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> </mml:math> be the number of <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mi mathvariant="normal">SL</mml:mi> <mml:mn>2</mml:mn> </mml:msub> <mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mi>ℤ</mml:mi> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> </mml:mrow> </mml:math> -equivalence classes of pairs <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:msub> <mml:mi>Q</mml:mi> <mml:mn>1</mml:mn> </mml:msub> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:msub> <mml:mi>Q</mml:mi> <mml:mn>2</mml:mn> </mml:msub> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> </mml:math> of quadratic forms with integer coefficients satisfying that the discriminant of <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:msub> <mml:mi>Q</mml:mi> <mml:mi>i</mml:mi> </mml:msub> </mml:math> is <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:msub> <mml:mi>d</mml:mi> <mml:mi>i</mml:mi> </mml:msub> </mml:math> , and the codiscriminant of <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:msub> <mml:mi>Q</mml:mi> <mml:mn>1</mml:mn> </mml:msub> </mml:math> and <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:msub> <mml:mi>Q</mml:mi> <mml:mn>2</mml:mn> </mml:msub> </mml:math> is <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mi>t</mml:mi> </mml:math> . We give an explicit formula for <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mi>h</mml:mi> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:msub> <mml:mi>d</mml:mi> <mml:mn>1</mml:mn> </mml:msub> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:msub> <mml:mi>d</mml:mi> <mml:mn>2</mml:mn> </mml:msub> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mi>t</mml:mi> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> </mml:math> assuming that <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:msub> <mml:mi>d</mml:mi> <mml:mi>i</mml:mi> </mml:msub> </mml:math> is not a square of an integer <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mi>i</mml:mi> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:mn>1</mml:mn> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mn>2</mml:mn> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> </mml:math> , and <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:msup> <mml:mi>t</mml:mi> <mml:mn>2</mml:mn> </mml:msup> <mml:mo>-</mml:mo> <mml:msub> <mml:mi>d</mml:mi> <mml:mn>1</mml:mn> </mml:msub> <mml:msub> <mml:mi>d</mml:mi> <mml:mn>2</mml:mn> </mml:msub> <mml:mo>≠</mml:mo> <mml:mn>0</mml:mn> </mml:mrow> </mml:math> . Previously such formulas were known only under some coprimality conditions.