Large sums of high order characters II

Let <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mi>χ</mml:mi> </mml:math> be a primitive Dirichlet character modulo <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mi>q</mml:mi> </mml:math> , and let <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mi>δ</mml:mi> <mml:mo>&gt;</mml:mo> <mml:mn>0</mml:mn> </mml:mrow> </mml:math> . Assuming that <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mi>χ</mml:mi> </mml:math> has large order <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mi>d</mml:mi> </mml:math> , for any <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mi>d</mml:mi> </mml:math> th root of unity <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mi>α</mml:mi> </mml:math> we obtain non-trivial upper bounds for the number of <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mi>n</mml:mi> <mml:mo>≤</mml:mo> <mml:mi>x</mml:mi> </mml:mrow> </mml:math> such that <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mi>χ</mml:mi> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mi>n</mml:mi> <mml:mo>)</mml:mo> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:mi>α</mml:mi> </mml:mrow> </mml:math> , provided <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mi>x</mml:mi> <mml:mo>&gt;</mml:mo> <mml:msup> <mml:mi>q</mml:mi> <mml:mi>δ</mml:mi> </mml:msup> </mml:mrow> </mml:math> . This improves upon a previous result of the first author by removing restrictions on <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mi>q</mml:mi> </mml:math> and <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mi>d</mml:mi> </mml:math> . As a corollary, we deduce that if the largest prime factor of <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mi>d</mml:mi> </mml:math> satisfies <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:msup> <mml:mi>P</mml:mi> <mml:mo>+</mml:mo> </mml:msup> <mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mi>d</mml:mi> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mo>→</mml:mo> <mml:mi>∞</mml:mi> </mml:mrow> </mml:math> then the level set <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mi>χ</mml:mi> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mi>n</mml:mi> <mml:mo>)</mml:mo> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:mi>α</mml:mi> </mml:mrow> </mml:math> has <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mi>o</mml:mi> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mi>x</mml:mi> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> </mml:math> such solutions whenever <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mi>x</mml:mi> <mml:mo>&gt;</mml:mo> <mml:msup> <mml:mi>q</mml:mi> <mml:mi>δ</mml:mi> </mml:msup> </mml:mrow> </mml:math> , for any fixed <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mi>δ</mml:mi> <mml:mo>&gt;</mml:mo> <mml:mn>0</mml:mn> </mml:mrow> </mml:math> . Our proof relies, among other things, on a refinement of a mean-squared estimate for short sums of the characters <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:msup> <mml:mi>χ</mml:mi> <mml:mi>ℓ</mml:mi> </mml:msup> </mml:math> , averaged over <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mn>1</mml:mn> <mml:mo>≤</mml:mo> <mml:mi>ℓ</mml:mi> <mml:mo>≤</mml:mo> <mml:mi>d</mml:mi> <mml:mo>-</mml:mo> <mml:mn>1</mml:mn> </mml:mrow> </mml:math> , due to the first author, which goes beyond Burgess’ theorem as soon as <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mi>d</mml:mi> </mml:math> is sufficiently large. We in fact show the alternative result that the partial sum of either (a) <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mi>χ</mml:mi> </mml:math> itself, or (b) <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:msup> <mml:mi>χ</mml:mi> <mml:mi>ℓ</mml:mi> </mml:msup> </mml:math> , for “almost all” <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mn>1</mml:mn> <mml:mo>≤</mml:mo> <mml:mi>ℓ</mml:mi> <mml:mo>≤</mml:mo> <mml:mi>d</mml:mi> <mml:mo>-</mml:mo> <mml:mn>1</mml:mn> </mml:mrow> </mml:math> , exhibits cancellation on the interval <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mo>[</mml:mo> <mml:mn>1</mml:mn> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:msup> <mml:mi>q</mml:mi> <mml:mi>δ</mml:mi> </mml:msup> <mml:mo>]</mml:mo> </mml:mrow> </mml:math> , for any fixed <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mi>δ</mml:mi> <mml:mo>&gt;</mml:mo> <mml:mn>0</mml:mn> </mml:mrow> </mml:math> . By an analogous method, we also show that the Pólya–Vinogradov inequality may be improved for either <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mi>χ</mml:mi> </mml:math> itself or for almost all <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:msup> <mml:mi>χ</mml:mi> <mml:mi>ℓ</mml:mi> </mml:msup> </mml:math> , with <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mn>1</mml:mn> <mml:mo>≤</mml:mo> <mml:mi>ℓ</mml:mi> <mml:mo>≤</mml:mo> <mml:mi